Ensino Superior ⇒ (Guidorizzi) Cálculo I - Limites Tópico resolvido

[mcarvalho]

Sejam [tex3]f[/tex3] e [tex3]g[/tex3] definidas em R com [tex3]g(x)\neq0[/tex3] para todo [tex3]x[/tex3]. Suponha que [tex3]\lim_{x\rightarrow p}{\frac{f(x)}{g(x)}}=0[/tex3]. Prove que existe [tex3]\delta>0[/tex3] tal que:

[tex3]0< |x-p|< \delta\implies |f(x)|<|g(x)|[/tex3].

[Cardoso1979]

Observe

Prova:

Da definição precisa de limites, temos

[tex3]\lim_{x \rightarrow \ a}f(x)=L[/tex3]

Se para todo número [tex3]\varepsilon > 0[/tex3] houver um número [tex3]\delta > 0[/tex3] tal que , se [tex3]0 < |x-a| < \delta [/tex3] então [tex3]|f(x) - L| < \varepsilon [/tex3]

Vamos supor que [tex3]\delta > 0[/tex3] , e fazendo com que [tex3]\varepsilon = 1[/tex3], dividindo a desigualdade | f( x ) | < | g( x ) | por | g( x ) | , vem;

[tex3]\frac{|f(x)|}{|g(x)|} < \frac{|g(x)|}{|g(x)|}⇔
\frac{|f(x)|}{|g(x)|} < 1 ⇔ \left|\frac{f(x)}{g(x)}-0\right| < 1[/tex3]

Então, podemos inferir que:

[tex3]f(x)=\frac{f(x)}{g(x)}[/tex3] e L = 0.

Assim, temos que [tex3]\lim_{x \rightarrow \ p}\frac{f(x)}{g(x)}=0[/tex3] e pela definição de limites a suposição feita por nós está correta! C.q.p.




Bons estudos!

[mcarvalho]

@Cardoso1979, obrigado!

Aproveito para perguntar algo que tem me deixado com um pouco de dúvida, e que você usou na sua resolução:

e fazendo com que [tex3]\varepsilon = 1[/tex3]

Por que é válido fazer isso? Quer dizer, a definição (tanto de limite quanto de continuidade) diz que se deve achar um [tex3]\delta >0[/tex3] que satisfaça qualquer [tex3]\varepsilon >0[/tex3], não é? A sua resolução está funcionando para [tex3]\varepsilon =1[/tex3], mas e para outros valores de [tex3]\epsilon[/tex3]? Funcionará? Não funcionará? Não importa?

Eu entendo quando atribuímos um valor específico ao [tex3]\delta[/tex3], afinal, se houver um só [tex3]\delta[/tex3] que funcione, já está bom, mas não entendo quando fazemos isso com o [tex3]\varepsilon[/tex3]. Nas aulas que estou acompanhando no YouTube o professor também usou repetidas vezes esse artifício para provar alguns teoremas de continuidade (o de que [tex3]f+g[/tex3] é contínuo se [tex3]f[/tex3] e [tex3]g[/tex3] forem contínuos, por exemplo).

[Cardoso1979]

@Cardoso1979, obrigado!

Aproveito para perguntar algo que tem me deixado com um pouco de dúvida, e que você usou na sua resolução:

e fazendo com que [tex3]\varepsilon = 1[/tex3]

Por que é válido fazer isso? Quer dizer, a definição (tanto de limite quanto de continuidade) diz que se deve achar um [tex3]\delta >0[/tex3] que satisfaça qualquer [tex3]\varepsilon >0[/tex3], não é? A sua resolução está funcionando para [tex3]\varepsilon =1[/tex3], mas e para outros valores de [tex3]\epsilon[/tex3]? Funcionará? Não funcionará? Não importa?

Eu entendo quando atribuímos um valor específico ao [tex3]\delta[/tex3], afinal, se houver um só [tex3]\delta[/tex3] que funcione, já está bom, mas não entendo quando fazemos isso com o [tex3]\varepsilon[/tex3]. Nas aulas que estou acompanhando no YouTube o professor também usou repetidas vezes esse artifício para provar alguns teoremas de continuidade (o de que [tex3]f+g[/tex3] é contínuo se [tex3]f[/tex3] e [tex3]g[/tex3] forem contínuos, por exemplo).

Note que eu supôs, para esses tipos de questões a gente procede dessa maneira, isso para que a suposição se encaixe na solução ( prova ) , é tipo um "ajuste".


Abraços!

[Cardoso1979]

Você irá se deparar com várias suposições desse tipo em várias situações de exercícios, com muita prática( resolvendo exercícios ) você irá se habituar


Abraços!

[Cardoso1979]

Para ser sincero com você, nunca vi uma questão com uma prova que a suposição traga um [tex3]\varepsilon = 2 [/tex3] ou [tex3]\varepsilon = 3[/tex3] ....

[mcarvalho]

@Cardoso1979, certinho, obrigado! Agora é fazer o que você disse, me empaturrar de exercício e ver no que dá hahah

Abraço!

[Cardoso1979]

@Cardoso1979, certinho, obrigado! Agora é fazer o que você disse, me empaturrar de exercício e ver no que dá hahah

Abraço!

Disponha

[DanielDC]

Talvez assim fique mais claro.

Note que o limite [tex3]\lim_{x\rightarrow p} \frac{f(x)}{g(x)}=0[/tex3]. Logo, essa hipótese nos dá que para todo [tex3]\epsilon[/tex3] dado (ou seja, você pode escolher o [tex3]\epsilon[/tex3] que for conveniente), existe [tex3]\delta[/tex3] tal que [tex3]\Bigg|\frac{f(x)}{g(x)}-0\Bigg|<\epsilon[/tex3]. Logo, pegando [tex3]\epsilon=1[/tex3], existe [tex3]\delta[/tex3]* no intervalo em questão tal que, [tex3]\Bigg|\frac{f(x)}{g(x)}-0\Bigg|<1\implies \Bigg|\frac{f(x)}{g(x)}\Bigg|<1\implies |f(x)|< |g(x)|[/tex3]. Logo o [tex3]\delta[/tex3]* existe para que a desigualdade queríamos mostrar aconteça.

[mcarvalho]

Logo, essa hipótese nos dá que para todo [tex3]\epsilon[/tex3] dado (ou seja, você pode escolher o que for conveniente), existe [tex3]\delta[/tex3] tal que [tex3]\Bigg|\frac{f(x)}{g(x)}-0\Bigg|<\epsilon[/tex3].

@DanielDC, obrigado! Clareou, sim!