Ensino Superior ⇒ Segmentos/retas Tópico resolvido

[CloudAura]

Sejam A, B e C pontos quaisquer, A≠B. Prove que:

a) X pertence à reta AB se, e somente se, existem a e B tais que CX = a.CA + b.CB e a+b=1

b) X pertence ao segmento AB se, e somente se, existem a e b tais que CX = a.CA + b.CB e a+b = 1, a>=0, b>=0 e a+b=1
Essa não entendi. Qual a diferença entre pertencer ao segmento e pertencer a reta? Como resolvo essa?

c)X é interior ao segmento AB (isto é, existe k tal que 0
Não queria uma resolução da questão mas sim uma explicação da diferença entre: X pertencer a reta, X pertencer ao segmento e ser interior ao segmento.

[Cardoso1979]

Olá CloudAura, a letra a) já foi resolvida em viewtopic.php?f=8&t=45029&p=221261#p221261


Vou resolver a letra b) a c) ficará como exercício para você, pois , além de ser "três questões" numa só( mesmo estando dividida em a) , b) e c) ) , além do mais a mesma está incompleta( está faltando dados na c).

Observe

Consideremos a seguinte figura:

1586818635054338532859181372347.jpg (252.71 KiB) Exibido 881 vezes

Da figura temos que

[tex3]\vec{CX}=\vec{CA}+\vec{AX}[/tex3]

Como [tex3]\vec{AX}[/tex3] e [tex3]\vec{AB}[/tex3] estão sobre a mesma reta, [tex3]\vec{AX}[/tex3] é múltiplo de [tex3]\vec{AB}[/tex3] , ou seja , [tex3]\vec{AX}=p\vec{AB}[/tex3] , p [tex3]\in \mathbb{R}[/tex3]. Como tem o mesmo sentido , p ≥ 0 , p ≤ 1.

Daí,

[tex3]\vec{CX}=\vec{CA}+\vec{AX}[/tex3]

[tex3]\vec{CX}=\vec{CA}+p.\vec{AB}[/tex3]

[tex3]\vec{CX}=\vec{CA}+p.(\vec{AC}+\vec{CB})[/tex3]

[tex3]\vec{CX}=\vec{CA}-p.\vec{CA}+p.\vec{CB}[/tex3]

[tex3]\vec{CX}=(1-p).\vec{CA}+p.\vec{CB}[/tex3]

Como , pela questão [tex3]\vec{CX}=a.\vec{CA}+b.\vec{CB}[/tex3] e , pela solução, [tex3]\vec{CX}=(1-p).\vec{CA}+p.\vec{CB}[/tex3] , temos a = 1 - p e b = p

Somando , temos

a + b = 1 - p + p = 1

Como a = 1 - p e p ≤ 1 → a ≥ 0

Como b = p e p ≥ 0 → b ≥ 0

Assim , provamos que X pertence ao segmento AB se , e somente se , existem a e b tais que [tex3]\vec{CX}=a.\vec{CA}+b.\vec{CB}[/tex3] e a + b = 1 , a ≥ 0 , b ≥ 0 e a + b = 1. C.q.p.




Nota

Se o ponto X pertencer a reta AB , automaticamente , temos que os vetores [tex3]\vec{AX}[/tex3] e [tex3]\vec{AB}[/tex3] são paralelos , isso já foi provado através da relação [tex3]\vec{AX}=p.\vec{AB}[/tex3]( veja a solução da letra a) no link ).



Bons estudos!