IME / ITA ⇒ (Colégio Naval 2005) número irracional Tópico resolvido

[agp16]

Os números reais positivos a e b satisfazem a igualdade: [tex3]a\sqrt{(a^2 + 2b^2)}= b\sqrt{(9a^2 {-} b^2)}[/tex3]. Um valor possível para [tex3]\frac{a}{b}[/tex3] é:

a) [tex3]\frac{5 + 2\sqrt{5}}{2}[/tex3]
b) [tex3]\frac{5 + \sqrt{3}}{2}[/tex3]
c) [tex3]\frac{3 + 2\sqrt{3}}{2}[/tex3]
d) [tex3]\frac{3 + \sqrt{3}}{2}[/tex3]
e) [tex3]\frac{3 + \sqrt{5}}{2}[/tex3]

Resposta

---

alternativa: e)

[triplebig]

[tex3]a^2\cdot(a^2+2b^2)=b^2\cdot(9a^2-b^2)\\
a^4+2a^2b^2=9a^2b^2-b^4\\
a^4-7a^2b^2+b^4=0\\
\text{Resolvendo em } a^2:\\
a^2=\frac{7b^2\pm\sqrt{49b^4-4b^4}}{2}\\
a^2=\frac{7b^2\pm3b^2\sqrt{5}}{2}\\
a=b\sqrt{\frac{7\pm3\sqrt{5}}{2}}\\
\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{14\pm6\sqrt{5}}}{2}\\
\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{(3\pm\sqrt{5})^2}}{2}\\
\frac{a}{b}=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}[/tex3]