Olimpíadas ⇒ Treinamento Cone Sul Tópico resolvido

[goncalves3718]

Sejam [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] números reais positivos tais que [tex3]a+b = 1[/tex3] . Prove que [tex3]ab^2 ≤ \frac{4}{27}[/tex3]

Material disponível em: https://www.urantiagaia.org/educacional ... dadesI.pdf
Tentem usar a desigualdade das médias para a resolução, já que o material é sobre isso!

[MateusQqMDMOD]

O Marcelo já mostrou a ideia no pdf, irei apenas aplicá-la (excelente professor, por sinal).

Perceba que podemos escrever [tex3]a + b = 1[/tex3] como [tex3]ab^2 = b^2(1-b)[/tex3] e, daí

[tex3]\sqrt{b^2(1-b)} \leq \frac{b^2 -b +1}{2}. [/tex3]

Como esse resultado não é bonito, vamos usar a Desigualdade de Cauchy para [tex3]b, \, b, \, (1-b).[/tex3]

[tex3]\begin{aligned}\sqrt[3]{b^2(1-b)} & \leq \frac{b + b + (1-b)}{3} \\ & \leq \frac{1 - b}{3}.\end{aligned}[/tex3]

Novamente, não obtemos um valor máximo.

Vamos, agora, trocar [tex3]1 - b[/tex3] por [tex3]2(1 - b)[/tex3]

[tex3]\begin{aligned}\sqrt[3]{b^22(1-b)} & \leq \frac{b + b + 2(1-b)}{3} \\ & \leq \frac{2}{3}.\end{aligned}[/tex3]

segue, daí, que

[tex3]b^22(1-b) \leq \frac{8}{27} \iff b^2(1-b) \leq \frac{4}{27},[/tex3]

de sorte que o valor máximo de [tex3]ab^2[/tex3] ocorre para [tex3]\frac{4}{27}.[/tex3]

Resposta

---

nota: não expliquei o motivo de ser permitido usar a desigualdade, sugiro que pense sozinho.

[snooplammer]

[tex3]a = 1 - b [/tex3]

[tex3](1-b)b^2 \leq \frac{4}{27}[/tex3]

[tex3]f(x) := -b^3+b^2 - \frac{4}{27}[/tex3]

Agora é só usar derivada e mostrar que [tex3]f(x) \leq 0[/tex3]

[goncalves3718]

Não entendi a passagem a partir de

Como esse resultado não é bonito, vamos usar a Desigualdade de Cauchy para [tex3]b,b(1-b)[/tex3] de onde saiu [tex3]b+b[/tex3] sendo que havia [tex3]b^2[/tex3]?

[MateusQqMDMOD]

Não sei se entendi sua dúvida, mas há um erro de sinal nessa passagem.

O correto é

[tex3]\begin{aligned}\sqrt[3]{b^2(1-b)} & \leq \frac{b + b + (1-b)}{3} \\ & \leq \frac{1 {\color{red}+} b}{3}.\end{aligned}[/tex3]

Sendo que os termos, nesse caso, são [tex3]b, \, b[/tex3] e [tex3](1-b).[/tex3]

Assim, note que podemos escrever a multiplicação (radicando) como [tex3]b \cdot b \cdot (1-b) = b^2(1-b).[/tex3] A ideia é análoga para os outros casos.