IME / ITA ⇒ (Caio Guimarães) Elipse Tópico resolvido

[lucasayub]

Na elipse de excentricidade [tex3]1/2,[/tex3] foco na origem reta diretriz dada por [tex3]3x + 4y = 25,[/tex3] determine :

a ) O outro foco da elipse

b) A equação das diretrizes da elipse

OBS : enquanto resolvia a letra a encontrei vários valores para os focos, dentre eles estava a resposta, porém não soube identificar qual seria o foco correto .

Resposta

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GABARITO : a) F = ( -2 , -8/3 ) b) d : 3x +4y +125/3 = 0

[petrasMOD]

lucasayub,
Poste sua resolução para ser avaliada.

[lucasayub]

e = 1/2 ==> c/a = 1/2 ==> a^2 = 4c^2

sabemos que na elipse o eixo principal é perpendicular as diretrizes e contém os focos , com isso :

m = 4/3 ==> y - 0 = 4/3(x- 0) ==> y = 4x/3 ==> essa reta contém o outro foco , logo ele será do tipo F`(x,4x/3)

distância entre os focos F e F` : d =\sqrt((x-0)^2 + (4x/3-0)^2) = 5|x|/3

distância do foco (0,0) até a diretriz que foi dada através de ponto a reta :

di = 5 , como não sabemos se essa é a diretriz mais próximo ou a mais distante temos duas hipóteses :

1) b^2/c = 5 ou 2) b^2/c + 2c = 5

1) b^2 = 5c ===> Equação fundamental da elipse : a^2 = b^2 + c^2 ==> 4c^2 = 5c + c^2 ==> c >0 ==> c = 5/3 ==> 2c = 10/3

5|x|/3 = 10/3 ==> x = 2 e y = 8/3 ou x = -2 e y = -8/3

2) b^2 + 2c^2/c = 5 ==> aplicando a equação fundamental ==> a^2 + c^2/c = 5 ==> a^2 = 4c^2 ==> 5c^2/c = 5 ==> c > 0 ==> c = 1

5|x|/3 = 2 ==> x = 6/5 e y = 8/5 ou x = -6/5 e y = -6/5

# DAÍ EM DIANTE NÃO SOUBE PROSSEGUIR

[Auto Excluído (ID: 23699)]

Ola @lucasayub

Diretriz: 3x + 4y = 25
A reta que contem os focos deve ser perpendicular a essa diretriz e conter o ponto F1 = (0,0)
Lembrando da condição de perpendicularidade (M.m = -1) e da equação geral da reta, chegamos na reta que contém os focos da elipse.
y = 4x/3

Agora, precisamos lembrar do 2º Teorema de Dandelin-Quetelet (basicamente, a definição das cônicas com base na sua excentricidade):
d(P,F) = e d(P,diretriz)

Ele nos deu a excentricidade da cônica, o foco e a diretriz relacionada a esse foco.
Calculamos a distância do foco à diretriz: chegamos em 5.

Todavia, o que significa esse valor?
Segundo o Teorema de Dandelin-Quetelet, podemos "converter" isso:
Observe que a distância do foco à diretriz é a distância do ponto ao foco + distância do ponto à diretriz. Fica mais fácil visualizar isso pensando no ponto como o vértice, mas lembre-se que isso é uma definição que justamente FORMA a cônica.
Por Dandelin-Quetelet, como já temos a excentricidade, temos uma relação entre essas distâncias.
Para nosso problema, precisamos encontrar a distância do foco ao ponto, o que, pela definição de elipse, será igual a c - a
Todavia, pela definição de excentricidade, sabemos que nessa elipse a = 2c.

Desse modo acabamos encontrando c (5/3) enquanto a distância do vértice à diretriz é (10/3)
Agora, precisamos encontrar o ponto que está à distância 2c do nosso foco e que pertence à reta que contém os focos, que já encontramos. (Esse único ponto será o outro foco).

[tex3]\sqrt{x^2+y^2}=\frac{100}{9} \\
mas \\
y = \frac{4x}{3}[/tex3]

Resolvendo esse sistema, encontraremos x = 2 ou -2

Todavia, pelo gráfico da elipse, pensamos:
1. Toda elipse possui duas diretrizes, sendo uma para cada foco.
2. Para simplificar, vamos focar apenas na que foi dada.
3. Essa diretriz divide o plano em dois semiplanos.
4. Os focos devem, obrigatoriamente, estar no mesmo semiplano.
5. Isso nos faz eliminar o 2, pois estaria do outro lado da diretriz.

Assim, concluímos que o outro foco é (-2 , -8/3)

[Auto Excluído (ID: 23699)]

Resolvendo a letra b, caso também seja necessária:

Agora que também encontramos o outro foco, sabemos que teremos uma reta de mesmo coeficiente angular que a outra diretriz (pois as diretrizes obrigatoriamente são paralelas) e que dista 5 do foco que encontramos.

Ficou muito mais simples:

[tex3]\frac{|3x+4y+c|}{5}=5[/tex3]

Substituindo os valores do novo foco na equação, encontramos dois valores de c:

125/3 ou -25/3

Todavia, novamente precisamos olhar para o gráfico.
O segundo valor nos fornece uma reta que corta a elipse. Recomendo você plotar essa função no Geogebra, para ficar mais fácil

Por cortar a elipse, precisamos descartar esse valor: ele quebra a definição de elipse. (Veja o segundo Teorema de Dandelin-Quetelet e o fato de que a excentricidade da elipse está entre 0 e 1)

Concluímos que o unico valor viável para c é 125/3

[lucasayub]

Muito obrigado , acabei esquecendo algumas propriedades , além da ideia da reta dividir o plano em dois semiplanos , que por sinal é muito útil .

[petrasMOD]

Zhadnyy,
Essa questão foi do IME 1989 e resolvida da seguinte forma:
A equação da reta da outra diretriz como já calculada é y =[tex3]\frac{4x}{3}[/tex3]
O centro da elipse será a interseção das duas diretrizes que será o ponto (3,4)
Se o centro é o ponto médio dos focos, e um dos focos está na origem (0,0), o outro foco estará em (6,8) sobre a
diretriz, y = [tex3]\frac{4x}{3}[/tex3]

Poderia comentar ?

[Auto Excluído (ID: 23699)]

Ola @petrasMOD

Acho que essa solução que você postou está incorreta
Pelo o que sei, a elipse sempre está numa seção de plano "entre as diretrizes", e as diretrizes são paralelas.

Concordo com o gabarito do Caio Guimarães

Material interessante, que aborda a parte de diretrizes em elipses

Resposta

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https://www.ime.usp.br/~oliveira/MAT105CONICAS.pdf

EDIT:
Observe que se tivermos a diretriz cortando a cônica, que é o que sugere essa resolução do @petrasMOD , estaremos violando o 2º Teorema de Dandelin-Quetelet!
d(P,F) = e d(P,diretriz)
Se P pertence à diretriz,
d(P,F)/d(P,diretriz) = e -> tende ao infinito!!!!
A excentricidade da elipse deve estar limitada entre 0 e 1 !!!

[petrasMOD]

Zhadnyy,

É verdade ..ele considerou as diretrizes perpendiculares entre si.