IME / ITA ⇒ (Colégio Naval 1994) sistema Tópico resolvido

[agp16]

Os números a, b e c são inteiros não nulos, tais que :
[tex3]\begin{cases}144a+12b+c=0 \\256a+16b+c=0\end{cases}[/tex3], logo [tex3]\sqrt{b^2{-}4.a.c}[/tex3] pode ser

(A) 151
(B) 152
(C) 153
(D) 154
(E) 155

[cajuADMIN]

Olá agp16,

Vamos rescrever as equações:

[tex3]\begin{cases} 12^2a+12b+c=0 \\ 16^2a+16b+c=0\end{cases}[/tex3]

Ou seja, estas duas equações são a demonstração de que [tex3]12[/tex3] e [tex3]16[/tex3] são as raízes do polinômio:

[tex3]P(x)=ax^2+bx+c[/tex3]

E o que o exercício pede é o [tex3]\sqrt{\Delta}[/tex3] deste polinômio

Sendo assim, podemos escrever o polinômio como sendo:

[tex3]P(x)=a[x^2-(12+16)x+12\cdot 16][/tex3]

[tex3]P(x)=a(x^2-28x+192)[/tex3]

[tex3]P(x)=ax^2-28ax+192a[/tex3]

[tex3]\sqrt{\Delta}=\sqrt{(-28a)^2-4\cdot a\cdot 192a}=4a[/tex3]

Ou seja, dentre as alternativas, a única que é 4 vezes um inteiro é a de letra B