Pré-Vestibular ⇒ (UFU - MG) possíveis valores de θ Tópico resolvido

[Salenave]

Determine todos os valores de [tex3]\theta[/tex3] para os quais a função [tex3]f(x) = x^2 + \cos(\theta)x + \frac{1}{8}[/tex3] não se anulará, para quaisquer que sejam os valores de [tex3]x[/tex3] real, sabendo que [tex3]0 \leq \theta \leq \pi/2 [/tex3]

a) [tex3]0 \leq \theta \leq \pi/4 [/tex3]
b) [tex3]\pi/4 \leq \theta \leq \pi/2[/tex3]
c) [tex3]\pi/6 \leq \theta \leq \pi/4 [/tex3]
d) [tex3]\pi/6 \leq \theta \leq \pi/2 [/tex3]

Resposta

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GAB: B

[Matheusrpb]

Salenave, boa tarde !

[tex3]I. [/tex3] Se a função não se anula, então ela não possui raíz real, ou seja, [tex3]∆<0[/tex3]. Logo:

[tex3]∆ =\(\cos\theta\)^2-4\cdot \frac18 [/tex3]

[tex3]\cos^2\theta-\frac12<0[/tex3]

[tex3]\( \cos\theta+\frac{\sqrt2}2\)\(\cos\theta-\frac{\sqrt2}2\) <0 [/tex3]

[tex3]-\frac{\sqrt2}2<\cos\theta<\frac{\sqrt2}2 [/tex3]

Obs: como [tex3]\theta\in 1ºQ [/tex3], temos [tex3]0≤\cos\theta ≤1[/tex3]. Logo:

[tex3]0≤\cos\theta<\frac{\sqrt2}2 [/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\frac{\pi}4<\theta≤\frac{\pi}2 }}[/tex3]

[Salenave]

Matheus, eu tinha conseguido chegar em Cos θ <+- √2/2, poderia me explicar daí em diante o porque do cosseno estar no intervalo ]-√2/2, √2/2[ ? Você fez um estudo do sinal?

[MateusQqMDMOD]

Olá, Salenave.

Para que a equação não se anule, basta que suas raízes não sejam reais, isto é, seu discriminante [tex3](\Delta)[/tex3] deve ser menor que zero.

[tex3]\begin{aligned}\Delta &= \cos^2 \theta - 4 \cdot 1 \cdot \frac{1}{8} \\ &=\cos^2 \theta -\frac{1}{2} < 0. \\ ⠀ \\ \,\, \bullet \,\,\, &\cos^2 \theta -\frac{1}{2} < 0 \,\, \Leftrightarrow \,\, \cos^2 \theta < \frac{1}{2} \\ & \Leftrightarrow \,\, - \frac{\sqrt{2}}{2} < \cos \theta < \frac{\sqrt{2}}{2} .\end{aligned}[/tex3]

Analisando o ciclo trigonométrico, obtemos [tex3]\frac{\pi}{4} + 2k\pi< \theta < \frac{3\pi}{4} + 2k \pi[/tex3] ou [tex3]\frac{5\pi}{4} + 2k\pi< \theta < \frac{7\pi}{4} + 2k \pi.[/tex3] Como [tex3]0 \leq θ \leq \frac{\pi}{2},[/tex3] segue que [tex3]\frac{\pi}{4} < θ \leq \frac{\pi}{2}.[/tex3]

[MateusQqMDMOD]

Opa!

Mandei para não perder o trabalho de ter digitado..

[Salenave]

Fala, MatheusqqMD! A partir de: [tex3]- \frac {\sqrt2}{2} < cos \theta < \frac {\sqrt2}{2}[/tex3] fiquei um pouco confuso. Como se determina esse intervalo? Estudo do sinal, né? Poderia me explicar daí em diante?

[Matheusrpb]

Matheus, eu tinha conseguido chegar em Cos θ <+- √2/2, poderia me explicar daí em diante o porque do cosseno estar no intervalo ]-√2/2, √2/2[ ? Você fez um estudo do sinal?

A equação [tex3]cos^2\theta-\frac12=0[/tex3] representa uma parábola de concavidade para cima, cujas raízes são [tex3]±\frac{\sqrt2}2 [/tex3]. Como nós queremos os valores de [tex3]\theta [/tex3] que tornam está função negativa, precisamos pegar o intervalo aberto entre as duas raízes. Daí:

[tex3]-\frac{\sqrt2}2<\cos\theta<\frac{\sqrt2}2 [/tex3]

Obs: creio que você errou na hora de digitar as opções, pq a resposta correta seria:

[tex3]\frac{\pi}4<\theta≤\frac{\pi}2 [/tex3]

Na alternativa está escrito:

[tex3]\frac{\pi}4≤\theta≤\frac{\pi}2 [/tex3]

[Salenave]

Perfeito! Então, depois basta analisar no ciclo trigonométrico, e ver os ângulos [tex3]\theta[/tex3] na qual terão cosseno menor que [tex3]\frac{\sqrt 2}{2} [/tex3] e maiores que [tex3]- \frac{\sqrt 2}{2}[/tex3] , a partir do intervalo, correto?!

[Matheusrpb]

Exatamente, você precisa fazer a interseção do intervalo obtido com o intervalo dado pelo enunciado.

[Salenave]

Muitíssimo obrigado, Matheusrpb! Obrigado pela paciência e as excelentes resoluções de ambos.