Olimpíadas ⇒ (IMO Shortlist) Quadrilátero inscritível

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Seja ABC um triângulo tal que AB+BC=3AC. Sejam I o seu incentro e D e E os pontos de tangência daa circunferência inscrita com os lados AB e BC, respectivamente. Além disso, sejam K e L os simétricos de D e E com relação ao incentro I. Prove que o quadrilátero ACKL é inscritivel

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Não sei resolver, mas aqui tem algumas trivialidades:
[tex3]BD = BE = AC [/tex3]
[tex3]KLDE[/tex3] é retângulo. Se você provar que a reta KL encontra a reta AI na polar A em relação ao incírculo o problema meio que acaba mas é bem acima do nível da lista esse daí

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[tex3]"BD = BE = AC"[/tex3] BD=BE realmente é trivial, mas BD=AC eu não me liguei, pelo meu desenho ficou muito desproporcional

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p-b=b
(AB+BC-AC)/2 = AC

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Seja [tex3]E'' = CK \cap AB[/tex3] seja [tex3]\omega_C[/tex3] o ex-incírculo do vértice [tex3]C[/tex3] e seja [tex3]T = w_C \cap AC[/tex3].
Sabemos que [tex3]E''[/tex3] é o ponto de tangência de [tex3]w_C[/tex3] com o lado [tex3]AB[/tex3] por conta da homotetia centrada em [tex3]C[/tex3] que leva o incírculo de [tex3]\triangle ABC[/tex3] a [tex3]w_C[/tex3].

Como [tex3]AE'' = TA = p-b = b[/tex3] logo [tex3]\triangle ACE''[/tex3] é isósceles em [tex3]A[/tex3] e portanto [tex3]\angle ACK = 90^{\degree} - \frac{\angle A}2[/tex3].
Como [tex3]\angle AIK = 90 + \frac{\angle A}2[/tex3]:
Seja [tex3]F[/tex3] o ponto de contato do incírculo de [tex3]\triangle ABC[/tex3] com [tex3]AC[/tex3] então
[tex3]\angle AIK = \angle AIF + \angle FIK = (90^{\degree} - \frac{\angle A}2) + \angle FIK = [/tex3]
[tex3](90^{\degree} - \frac{\angle A}2) + \angle FIE - \angle EFK = (90^{\degree} - \frac{\angle A}2) + (180^{\degree} - \angle C) - 2\cdot \angle KDE =[/tex3]
[tex3]= 90^{\degree} - \frac{\angle A}2 + (180^{\degree} - \angle C - \angle B) = 90 + \frac{\angle A}2 [/tex3]
então quadrilátero [tex3]AIKC[/tex3] é cíclico pois [tex3]\angle ACK + \angle AIK = 180^{\degree}[/tex3].
Analogamente o quadrilátero [tex3]AILC[/tex3] é cíclico, logo [tex3]AKLC[/tex3] é cíclico.
Uma série de simetrias decorre deste fato.

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A prova da homotetia a qual me referi viewtopic.php?f=3&t=45510

[snooplammer]

Vou analisar sua resolução e depois volto aqui, tem um tempinho q n estudo geometria plana kkk