IME / ITA ⇒ (Escola Naval – 1983) Limite Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

[tex3]\lim_{x\to 0}\text{ (secx)^{\frac{1}{x^2}}}[/tex3] é igual a:

(A) [tex3]e[/tex3].
(B) [tex3]\sqrt{e}[/tex3].
(C) [tex3]2[/tex3].
(D) [tex3]e^2[/tex3].
(E) [tex3]\frac{1}{2}[/tex3].

[fabit]

Vejamos:

[tex3]\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}=\frac{1}{2}[/tex3] (Esse limite fundamental do cosseno é corolário do fundamental sen(x)/x tendendo pra 1).

Então [tex3]1-\cos{x}\rightarrow\frac{x^2}{2}[/tex3] e portanto [tex3]\cos{x}\rightarrow1-\frac{x^2}{2}[/tex3]

Aí [tex3]\sec{x}=\frac{1}{\cos{x}}\rightarrow\frac{1}{1-\frac{x^2}{2}}=\frac{2}{2-x^2}=\frac{2-x^2+x^2}{2-x^2}[/tex3]

Ou seja, [tex3]\sec{x}\rightarrow1+\frac{x^2}{2-x^2}=1+\frac{1}{\frac{2}{x^2}-1}[/tex3]

Mudança de variável [tex3]\frac{2}{x^2}-1=t[/tex3]

Nosso limite virou [tex3]\lim_{t\rightarrow+\infty}\(1+\frac{1}{t}\)^{\(\frac{t+1}{2}\)}=\lim_{t\rightarrow+\infty}\sqrt{\(1+\frac{1}{t}\)^{\(t+1\)}}=...[/tex3]

[tex3]...=\sqrt{\lim_{t\rightarrow+\infty}\(1+\frac{1}{t}\)^{\(t+1\)}}=\sqrt{\lim_{t\rightarrow+\infty}\(1+\frac{1}{t}\)^{t\(1+\frac{1}{t}\)}}=\sqrt{e^1}=\sqrt{e}[/tex3]

Letra B