Ensino Superior ⇒ Continuidade Tópico resolvido

[n3ll4f]

Oi

Podiam-me ajudar a resolver as seguintes expressões de modo a encontrar os pontos de continuidade e descontimuidade:

a) [tex3]f(x)=\frac{x+1}{x^3+x}[/tex3]

b) [tex3]f(x)=\sqrt{x} - \frac{1}{x^2+x}[/tex3]

c) [tex3]f(x)=\begin{cases}\frac{x^2-25}{x-5}\ &\text{ se }\ x\neq 5 \\1\, &\text{ se }\, x=5&\end{cases}[/tex3]


Por favor, ajudem-me nestes problemas.

Desde já obrigado

[Natan]

Oi,

antes de resolver questões que envolvem continuidade, você deve ter em mente que:


Os seguintes problemas envolvem a continuidade de funções de uma variável.Uma função [tex3]y = f(x)[/tex3] é contínua em um ponto [tex3]x=a[/tex3] se as seguintes três condições são satisfeitas:

[tex3]I)\, f(a)[/tex3] está definida.
[tex3]II)\, \lim_{x \to\ a}f(x)[/tex3] existe e é finito.
[tex3]III)\, \lim_{x \to\ a}f(x)=f(a).[/tex3]

vamos as questões:

a) A função é descontínua em [tex3]x=0.[/tex3]

aqui temos funções polinomiais contínuas, uma no numerador e uma no denominador. O quociente de de duas funções contínuas é contínua em todos os pontos [tex3]x[/tex3] aonde o denominador não é zero. Vamos então verificar para quais valores de [tex3]x[/tex3] o denominador se anula:

[tex3]x^3+x=0 \Rightarrow x(x^2+1)=0[/tex3] daí [tex3]x=0.[/tex3]

b) A função é descontínua em [tex3]x=0[/tex3] e em [tex3]x=-1.[/tex3]

vamos reescrever a função na forma:

[tex3]f(x)=\frac{\sqrt{x}(x^2+1)-1}{x^2+x}[/tex3] aqui o mesmo caso, ela é descontínua onde o denominador se anula:

[tex3]x^2+x=0 \Rightarrow x(x+1)=0[/tex3] daí [tex3]x=0[/tex3] e [tex3]x=-1[/tex3]

c) A função é descontínua em [tex3]x=0.[/tex3]

note que a primeira condição está satisfeita:

[tex3]f(1)=5[/tex3] porém:

[tex3]\lim_{x \to\ 1}\frac{x^2-25}{x-5}=6[/tex3] e portanto [tex3]\lim_{x \to\ 1}f(x){\neq}f(1)[/tex3] quebrando a terceira condição.