Ensino Superior ⇒ Séries Convergentes Tópico resolvido

[rareirin]

Considere duas séries convergentes [tex3]an[/tex3] e [tex3]bn[/tex3]. Sabendo que essas duas séries são formadas somente por termos positivos mostre que a série [tex3]an\cdot{bn}[/tex3] também é convergente.

[Cardoso1979]

Observe

Primeira maneira:

Para que [tex3]\sum_{}^{}a_{n}[/tex3] e [tex3]\sum_{}^{}b_{n}[/tex3] convirjam , é necessário que [tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}a_{n}=0[/tex3] e [tex3]\lim_{n \rightarrow \infty}b_{n}=0[/tex3] , então , focando só na primeira série , a partir de um certo n , [tex3]a_{n} < 1,[/tex3] e podemos dizer que após esse valor de n, [tex3]a_{n}b_{n} < b_{n}[/tex3] , já que se multiplicarmos um número por outro menor que 1 , ficamos com um número menor.

Como após esse valor de n temos que [tex3]a_{n}b_{n} < b_{n}[/tex3] e antes desse valor temos n termos na série, sendo n um número finito, a soma destes termos não implicam na divergência da soma. Para os valores subsequentes temos que, como [tex3]\sum_{}^{}b_{n}[/tex3] converge , pelo teste da comparação [tex3]\sum_{}^{}a_{n}b_{n}[/tex3] , também converge. C.q.m






Segunda maneira:

Como [tex3]\sum_{}^{}a_{n}[/tex3] converge, seus termos se aproximam de 0 quando n → ∞, assim , para algum número inteiro N, [tex3]a_{n} ≤ 1[/tex3] para todos os n ≥ N. Mas então [tex3]\sum_{n=1}^{∞}a_{n}b_{n}=\sum_{n=1}^{N-1}a_{n}b_{n}+\sum_{n=N}^{∞}a_{n}b_{n}≤ \sum_{n=1}^{N-1}a_{n}b_{n}+\sum_{n=N}^{∞}b_{n}[/tex3]. O primeiro termo é uma soma finita e o segundo termo converge, pois [tex3]\sum_{n=1}^{∞}b_{n}[/tex3] converge. Então, [tex3]\sum_{}^{}a_{n}b_{n}[/tex3] converge pelo teste da comparação. C.q.m.



Bons estudos!