Física II ⇒ (UEM 2018) Termodinâmica Tópico resolvido

[skulllsux189]

Um mol de gás hélio (gás ideal) é usado em uma máquina térmica que opera em um ciclo representado por um retângulo ABCD (no sentido horário) em um diagrama pressão versus volume. No ponto A, o volume e a pressão do gás assumem seus valores mínimos: V0 e P0. Em C a pressão e o volume são máximos: 2V0 e 2P0 . Sobre o gás hélio e o sistema descrito acima, assinale o que for correto:

01) À temperatura ambiente, o hélio encontra-se na
forma de um gás diatômico, incolor, inodoro e mais denso queo ar atmosférico.

02) O rendimento do ciclo ABCD é igual a 2/13.

04) Uma máquina de Carnot, operando entre as temper
aturas mais alta e mais baixa alcançadas no ciclo ABCD, tem rendimento igual a
3 /4.

08) Um processo isotérmico, de temperatura igual a 3 /2
da maior temperatura alcançada no ciclo ABCD, passa por B e D.

16) Em uma expansão adiabática passando pelo estado B, a pressão do gás é maior que P0 quando o volume é igual a 2V0 .

Resposta

---

gabarito:02-04

[Planck]

Olá, skulllsux189.

O gás Hélio é um gás monoatômico, incolor e inodoro. Além disso, possui densidade menor [tex3]\(0,1785 \text{ kg/m}^3\)[/tex3] que a densidade do ar [tex3]\(\approx 1,29 \text{kg/m}^3\).[/tex3]

Considerando que o ciclo é ideal, podemos definir que:

• [tex3]\text A \to \text B:[/tex3] Isocórico;
• [tex3]\text B \to \text C:[/tex3] Isobárico;
• [tex3]\text C \to \text D:[/tex3] Isocórico;
• [tex3]\text D \to \text A:[/tex3] Isobárico.

O rendimento de um ciclo é dado pela razão entre o trabalho e o calor gasto pelo gás. Para um gás ideal, podemos afirmar que:

[tex3]\tau \overset{\text N}= \text A_{\text{ciclo}}[/tex3]

Para o ciclo em questão, temos que [tex3]\tau = \text P_0 \cdot \text V_0[/tex3]. O gás recebe calor de [tex3]\text A \to \text B[/tex3] e de [tex3]\text B \to \text C,[/tex3] de tal modo que podemos fazer o seguinte:

[tex3]\begin{cases}
\text A \to \text B: \Delta \text U = \text Q \implies \frac{3}{2}\text n\text R \text T \\ \\
\text B \to \text C: \text Q = \Delta \text U + \text W \implies \frac{3}{2} \text n \text R ~2\text T +\text n \text R ~\text {2T}

\end{cases} \implies \text Q_{\text{Total}} = \frac{13}{2} \text n \text R \text T[/tex3]

Logo, para o rendimento, ficamos com:

[tex3]\eta = \frac{\tau}{\text Q_1} = \frac{\text P_0 \cdot \text V_0}{\frac{13}{2} \text n \text R \text T}, \,\, \text P_0 \cdot \text V_0 = \text n \text R \text T \implies \eta = \frac{2}{13}[/tex3]

Para o rendimento ideal, vamos considerar a temperatura máxima e a temperatura mínima. Como a primeira transformação é isocórica, pressão e temperatura são diretamente proporcionais. Se em [tex3]\text A[/tex3] a temperatura é [tex3]\vartheta,[/tex3] em [tex3]\text B[/tex3] a temperatura é [tex3]2 \vartheta,[/tex3] pois, a pressão dobrou, então, a temperatura também dobra. Para o ponto [tex3]\text C,[/tex3] a temperatura será o dobro da temperatura de [tex3]\text B,[/tex3] pois, [tex3]\text B \to \text C[/tex3] é uma transformação isobárica (temperatura e volume diretamente proporcionais). Desse modo, a temperatura em [tex3]\text C [/tex3] é de [tex3]4 \vartheta.[/tex3] O rendimento ideal será dado por:

[tex3]\eta = 1 - \frac{\text T_{\text{fria}}}{\text T_{\text{quente}}} \iff 1 - \frac{1 \vartheta}{4\vartheta } = \frac{3}{4}[/tex3]

Em uma transformação isotérmica, o produto [tex3]\text P \cdot \text V[/tex3] é constante. Para um processo que passa por [tex3]\text B[/tex3] e [tex3]\text D,[/tex3] a isoterma possui a temperatura de [tex3]2 \text T_0[/tex3] e não [tex3]\frac{3}{2} \cdot 4 \text T_0=6 \text T_0.[/tex3]

Na expansão adiabática passando por [tex3]\text B,[/tex3] a pressão do gás será [tex3]\text P_0.[/tex3]

A melhor forma de visualizar essa questão é elaborar um gráfico com todos os pontos e descrever as variáveis de estado para cada ponto. Vamos obter que:

9616AC65-9955-435B-9E31-333B8BCB078A.png (16.1 KiB) Exibido 2071 vezes

[tex3]\text T_\text A = \vartheta, \, \text T_\text B =2 \vartheta, \, \text T_\text C= 4 \vartheta , \, \text T_\text D = 2 \vartheta.[/tex3]

[medyorianna]

Alguém poderia me explicar o porquê dele considerar 2T na segunda equação da energia interna (B => C)? Sendo que tanto em A =>B quando em B =>C, a variação da temperatura é a mesma.

[felix]

A variação de temperatura não é a mesma das transformações AB e BC; Observe, aproveitando o gráfico representado pelo nosso amigo Planck, que de A para B (isocórico) a pressão dobrou o que implica em ter dobrado a temperatura, tal que se no estado A, você representar por T, a temperatura no estado B será 2T, ou seja, uma variação igual a 2T - T = T. Já na transformação de B para C (isobárica), como duplicou o volume, a temperatura também duplicou, passando de 2T para 4T, portanto, uma variação de 4T - 2T = 2T.