Ensino Superior ⇒ Álgebra : Equações vetoriais e paramétricas Tópico resolvido

[imzenks]

A reta t passa pelo ponto A (4, -2,2) e é paralela à reta r1 : x = 2y = -2z.

A reta s passa pelo ponto B (3,4, -1) e é ortogonal às retas r2 e r3, definidas por:
r2: (x,y,z) = (0,0,1) + [tex3]\alpha [/tex3](2,3 -4).

e r3: x = 5
y = [tex3]\alpha [/tex3]
z = 1 - [tex3]\alpha [/tex3]

Determine:

a) para a reta t , a equação vetorial e as equações paramétricas.
b) para a reta s, as equações simétricas e as equações reduzidas, em função da variável y.
c) o ângulo formado entre as retas t e s.
d) As retas t e s são coplanares ou reversas? Justifique com cálculos.

[AlexandreHDK]

a) Para a reta t, vamos primeiro ver a equação reduzida fornecida da reta r1:
[tex3]r1 : x = 2y = -2z[/tex3]
Igualando a um parâmetro k:
[tex3]r1 : x = 2y = -2z = k[/tex3]
Reescrevendo:
[tex3]\begin{cases}
x=k \\
y=\frac{1}{2}k\\
z=-\frac{1}{2}k
\end{cases}[/tex3]
O que dá a seguinte equação vetorial de r1:
[tex3]r1:(x,y,z)=(0,0,0)+k\(1,\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\)[/tex3]
Onde [tex3]\(1,\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\)[/tex3] é o vetor diretor de r1, e pelo que foi dito, deve ser também o vetor diretor da reta t, logo sua equação vetorial é:
[tex3]t:(x,y,z)=(4,-2,-2)+k\(1,\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\)[/tex3]

b) A reta r2 já está na forma vetoria, beleza. Vamos ver a forma vetorial de r3:
[tex3]\begin{cases}
x=5+\alpha.0\\
y=0+\alpha.1\\
z=1-\alpha.1
\end{cases}
[/tex3]
Na forma vetorial:
[tex3]r3: (x,y,z)=(5,0,1)+\alpha(0,1,-1)[/tex3]
Para encontrar o vetor diretor de s, basta fazermos o produto vetorial dos vetores diretores de r2 e r3:
[tex3]v_s=(2,3,-4) \times (0,1,-1)= (1,2,2)[/tex3]
Assim:
[tex3]s:(x,y,z)=(3,4,-1)+\alpha(1,2,2)[/tex3]
Reescrevendo:
[tex3]s:\frac{x-3}{1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z+1}{2}=\alpha[/tex3]
Agora, com x e z em função de y:
[tex3]\begin{cases}
x=\frac{y}{2}+1 \\
z=y-5
\end{cases}[/tex3]
c) Aqui sai da definição de produto escalar entre 2 vetores, e esses 2 vetores que usaremos são os vetores diretores de t e s:
[tex3]v_t=\(1,\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\)\\
v_s=(1,2,2)\\
v_t \cdot v_s = |v_t|.|v_s|.\cos(\beta) \Leftrightarrow \cos(\beta)=\frac{v_t \cdot v_s}{|v_t|.|v_s|} \\
\cos(\beta)=\frac{1}{\frac{\sqrt{6}}{2}.3}=\frac{\sqrt{6}}{9} \Rightarrow \beta = \cos^{-1}\(\frac{\sqrt{6}}{9}\)[/tex3]
d) Como o ângulo entre t e s não é igual a 0, então certamente não são retas coincidentes nem paralelas. Para verificar se são coplanares, basta descobrir se as retas possuem um ponto em comum. Vamos reescrever suas equações numa forma que possamos comparar suas coordenadas:
[tex3]
t: (x,y,z) = (4,-2,-2)+k\(1,\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\) = \(4+k,-2+\frac{k}{2},-2-\frac{k}{2}\)\\
s: (x,y,z) = (3,4,-1)+\alpha(1,2,2)=(3+\alpha,4+2\alpha,-1+2\alpha)[/tex3]
O que nos dá o seguinte sistema:
[tex3]\begin{cases}
4+k = 3+\alpha \\
-2+\frac{k}{2} = 4+2\alpha \\
-2-\frac{k}{2} = -1+2\alpha
\end{cases}[/tex3]
Bom, este sistema não tem solução válida para k e [tex3]\alpha[/tex3], então as retas são concorrentes.