IME / ITA ⇒ (Escola Naval) Trigonometria Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

O valor de
[tex3]\sen^210+\sen^220+\sen^230+...+\sen^2160+\sen^2170[/tex3] é

(A) [tex3]5[/tex3].
(B) [tex3]8[/tex3].
(C) [tex3]9[/tex3].
(D) [tex3]10[/tex3].
(E) [tex3]11[/tex3].

[triplebig]

(1) Transformação usando a propriedade: [tex3]\sen \alpha=\sen (180-\alpha)[/tex3] :

[tex3]S=\sen^210+\sen^220+\sen^230+\dots+\sen^280+\sen^290+\sen^2100+\dots+\sen^2160+\sen^2170\\ \text{ }=\sen^{21}0+\sen^220+\sen^230+\dots+\sen^280+\sen^290+\sen^280+\dots+\sen^220+\sen^210\\ \text{ }=2\cdot(\sen^210+\sen^220+\sen^230+\dots+\sen^280)+\sen^290\\ \text{ }=2\cdot(\sen^210+\sen^220+\sen^230+\dots+\sen^280)+1[/tex3]

(2) Tranformação usando a propriedade [tex3]\sen \alpha=\cos(90-\alpha)[/tex3] :

[tex3]S=2\cdot(\sen^210+\sen^220+\sen^230+\dots+\sen^280)+1\\ \text{ }=2\cdot(\sen^210+\sen^220+\dots+\sen^240+\cos^240+\cos^230+\dots+\cos^210)+1[/tex3]

(3) Transformação usando a propriedade: [tex3]\sen^2\alpha+\cos^2\alpha=1[/tex3] :

[tex3]S=2\cdot(\sen^210+\sen^220+\dots+\sen^240+\cos^240+\cos^230+\dots+\cos^210)+1\\ \text{ }=2\cdot4+1\\ \text{ }=9[/tex3]

Letra c)