IME / ITA ⇒ (Simulado IME/ITA) Geometria Plana

[Flavio2020]

Na figura abaixo os quadriláteros AMNB, AEFC e APQR são quadrados; S1=9m², S2= 6m², calcular a área da região triangular ABC.

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Resposta

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r.: 16m²

[Auto Excluído (ID:12031)]

algumas considerações:
triângulo EAR congruente ao CAP

complete o retângulo MNHO tal que o ponto R esteja sobre OH e O esteja na reta NC.
triângulo ARH é congruente a ABP de onde HR = PB e RO = PN. Também temos que PC = PB + AB + NE
dai vem que o triângulo ROC é congruente ao PNE e portanto M,N e E estão alinhados.

De onde triângulo ABC é congruente ao AME

[tex3]X = PC \cap ER[/tex3]

triângulo EPX congruente ao CRX de onde X está na mediatriz de E e C e portanto AX é bissetriz do ângulo <CAP

- Ligue AN,e trace PY perpendicular a AP com Y em AP.
APY é semelhante à BXA

[Auto Excluído (ID:12031)]

sendo [tex3]\alpha = \angle EAB[/tex3]
e [tex3]x = \frac{S_1}{S_2}[/tex3]
[tex3]\sin (2\alpha)(2-x) + \cos(2\alpha) = 1-x[/tex3]
no caso [tex3]\sin(2\alpha) 0.5 + \cos(2\alpha) = -0.5[/tex3]
o que implica [tex3]\alpha = n\pi - \frac{\pi}4[/tex3] o que dá muito grande [tex3]\alpha >135^{\circ}[/tex3]
ou [tex3]\alpha = 2\tg^{-1} (\frac{\sqrt{10}-1}3) \implies \tg(\alpha) =3[/tex3] mas de novo, isso é absurdo pois se [tex3]\tg (\alpha) >2[/tex3] teria-se [tex3]S_1<0[/tex3]

[Auto Excluído (ID:24303)]

tomando [tex3]\alpha[/tex3] conforme acima.
Seja [tex3]a = \overline{AC}[/tex3].
Do [tex3]\triangle ABC[/tex3]: [tex3]AB = a \sen (\alpha) \implies \tg(\alpha) = \frac{PB}{AB} \implies PB = a \sen (\alpha) \tg(\alpha)[/tex3]
[tex3]S_1 = a^2 \sen^2(\alpha) -\frac{a^2}2\sen^2(\alpha) \tg(\alpha)[/tex3]

[tex3]S_{ARE} = S_2 + S_{ABE} + S_{ABR}[/tex3]
[tex3]S_{ARE} = \frac{a \cdot a \cdot \tg\alpha}2[/tex3]
[tex3]S_{ABR} = \frac{(a \tg(\alpha)) \cdot(a \sen(\alpha) \cos(\alpha))}2 = \frac{a^2 \sen^2(\alpha)}2[/tex3]
[tex3]S_{EAB} = \frac{a \cdot a \cdot \sen^2(\alpha)}{2} = S_{ABR}[/tex3]
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[tex3]S_2 = \frac{a^2}2(\tg (\alpha) - 2\sen^2(\alpha))[/tex3]
dessas equações, temos que [tex3]\tg(\alpha) = 1 - \sqrt{\frac25}[/tex3]
isso implica que [tex3]12 = a^2(1 - \sqrt{\frac25} - \frac1{26}(22-5\sqrt{10}))[/tex3]
de onde: [tex3]a^2 = \frac{12 \cdot 130}{20 - \sqrt{10}} = \frac{12 \cdot 130}{390} \cdot(20 + \sqrt{10}) = 4\cdot(20 + \sqrt{10})[/tex3]
por fim: [tex3]S_{ABC} = \frac{a^2}2 \sen (\alpha) \cos(\alpha) = \frac{a^2}2 \frac{\sen^2(\alpha)}{\tg(\alpha)} = \frac{a^2}2 \frac{(20 - \sqrt{10})} {52}=[/tex3]
[tex3]= \frac{2}{52}(20^2 - 10) = 15[/tex3]
Acho que deve dar pra ver que tem que ser a soma, só pelas fórmulas direto.