Ensino Superior ⇒ Geometria Analítica - Produto Misto Tópico resolvido

[derprrl]

Questão 12-4 do livro Geometria Analítica, um tratamento vetorial (Ivan de Camargo | Paulo Boulos):
A base ABCD do paralelepípedo da Figura 12-3 tem área 9. O ponto M divide (A,B) na razão 2, e a aresta BF, de comprimento 2, forma com o plano da base um ângulo de 60º. Calcule [tex3][\vec{CM},\vec{CB},\vec{BF}][/tex3], sabendo que V³ está orientado por uma base destra.

figura 12-3 Geometria Analitica um tratamento vetorial .png (66.33 KiB) Exibido 1442 vezes

Resposta

---

[tex3]3\sqrt3[/tex3]

Agradeço a atenção !

[Cardoso1979]

Observe

" Uma possível solução":

Sabemos que :

[tex3][\vec{CM},\vec{CB},\vec{BF}]=||\vec{CM}\wedge \vec{CB}||.||\vec{BF}||.cos (\theta )[/tex3]

Onde [tex3]\theta [/tex3] é o ângulo que [tex3]\vec{BF}[/tex3] forma com
[tex3]\vec{CM}\wedge \vec{CB}[/tex3].


Como [tex3]\vec{CM}[/tex3] , [tex3]\vec{CB}[/tex3] são vetores diretores do plano da base , o produto vetorial deles é um vetor normal do plano , então , é paralelo a PG. Como [tex3]\vec{BF}[/tex3] forma 60° com o plano da base , por análise de triângulo retângulo, vemos que ele forma 30° com PG. Daí ;

[tex3][\vec{CM},\vec{CB},\vec{BF}]=||\vec{CM}\wedge \vec{CB}||.||\vec{BF}||.cos (30°)[/tex3]

Mas, [tex3]||\vec{CM}\wedge \vec{CB}||[/tex3] é a área do paralelogramo da base , ou seja , 9. E [tex3]||\vec{BF}||[/tex3] , de acordo com o enunciado, vale 2, segue que;

[tex3][\vec{CM},\vec{CB},\vec{BF}]=9.2.cos (30°)[/tex3]

[tex3][\vec{CM},\vec{CB},\vec{BF}]=9.2.\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]


Portanto,

[tex3][\vec{CM},\vec{CB},\vec{BF}]=9\sqrt{3}[/tex3]


Obs. Vou rever a minha solução com mais calma, porém já li e reli e não estou encontrando erro na solução.




Bons estudos!