Olimpíadas ⇒ Geometria Plana - Problema 34 (fórmula de área)

[jvmago]

1) Em um triângulo qualquer inscrito em um circunferência sabe-se que o valor de suas respectivas flechas valem [tex3]1,2,3[/tex3] determine o valor da região ABC

2) determine o valor dessa área quando as flechas valem [tex3]a,b,c[/tex3]

[FelipeMartinMOD]

[tex3]2f_a = r_a - r[/tex3] e [tex3]\frac 1 r = \frac 1 {r_a}+\frac 1 {r_b}+\frac 1 {r_c}[/tex3]

[tex3]\frac 1 r = \frac 1 {r+2f_a}+\frac 1 {r+2f_b}+\frac 1 {r+2f_c}[/tex3]

substituindo [tex3]f_a \leftrightarrow a[/tex3] e as outras duas:

[tex3]r^2 ( a+b+c+r) = 4abc[/tex3]. A ideia é usar a relação [tex3]S^2 = rr_ar_br_c[/tex3], mas não acho que dê pra contornar a primeira cúbica, cuja resposta é meio gigante....

Eu cheguei que:

[tex3]S^2 = r^2[ (a+b+c)^2 - 2(a^2+b^2+c^2)] + 4abc(3r+a+b+c)[/tex3]

agora pra simplificar isso, teria que resolver a cúbica [tex3]r^2 ( a+b+c+r) = 4abc[/tex3] e substituir. Acho que fica gigante.

O wolframalpha não aguenta https://www.wolframalpha.com/input/?i=x ... %29%3D4abc

[tex3]r = y + \frac{a+b+c}3 \implies y^3 - \frac y3 (a+b+c)^2 + \frac2{27} (a+b+c)^3 = 4abc[/tex3] esse [tex3]y[/tex3] é gigante: https://www.wolframalpha.com/input/?i=% ... 2+%3D+4abc

[tex3]S^2 = (y^2 + \frac{(a+b+c)^2}9)[(a+b+c)^2 - 2(a^2+b^2+c^2)] + y(12abc - \frac23 (a+b+c)[(a+b+c)^2-2(a^2+b^2+c^2)])[/tex3]
[tex3]y = \sqrt[3]{-\frac q2 + \delta} + \sqrt[3]{-\frac q2 - \delta}[/tex3], com [tex3]q = \frac2{27}(a+b+c)^3 - 4abc, \delta = \sqrt{(\frac q2)^2 - (\frac{(a+b+c)^2}{9})^3 }[/tex3]

o delta deu negativo, então há 3 raízes reais e distintas.

Olha, avancei um pouco mais e parece que existe a chance da expressão final não ser muito feia. Se alguém quiser continuar daqui:

- Encontre uma raíz cúbica do número complexo:

[tex3]z = (\frac{a+b+c}3)^3 - 2abc + 2i\sqrt{abc((\frac{a+b+c}3)^3-abc)}[/tex3]

parece monstruoso, mas o módulo desse número é [tex3](\frac{a+b+c}3)^3[/tex3], logo a raíz cúbica terá módulo [tex3]\frac{a+b+c}3[/tex3]. O argumento da raíz cúbica talvez seja o problema. Chame uma das raízes cúbicas do número [tex3]z[/tex3] de [tex3]\beta = \sqrt[3]z[/tex3].

- calcule [tex3]\gamma = -\frac{(\frac{a+b+c}3)^2}{\beta}[/tex3] e então [tex3]y_1 = \gamma - \beta[/tex3] será uma raíz real do problema.

[jvmago]

Este problema é lendário, muito semelhante ao triângulo russo

[FelipeMartinMOD]

jvmago, não é possível hahaha manda a solução ai

[jvmago]

Lembre-se do "Terror Geométrico", as vezes basta um produto notável

[FelipeMartinMOD]

jvmago, a resposta do primeiro já é uma cúbica. Não é possível que tenha uma expressão "simples" (quadrática) só por plana... qual a ideia dele?

[jvmago]

r²(a+b+c+r)=4*(4R*S)
r²(2p+r)=16R*S
S²(2p+r)=16Rr²S
S(2p+r)=16Rr²

Convido a todos os geometras do fórum a refletirem sobre essa última passagem

[FelipeMartinMOD]

jvmago, essas passagens são verdadeiras, mas a ideia não é deixar em função de [tex3]a,b[/tex3] e [tex3]c[/tex3]?

[jvmago]

Siim, porém essa equação pode ser chave para uma visualização mais clara

[FelipeMartinMOD]

jvmago, ué... se usar que [tex3]4R = r_a + r_b + r_c - r[/tex3], você chega que: [tex3]S = 8r^2[/tex3]. O que é absurdo.