Ensino Superior ⇒ Estatistica Dificil

[denisonFacul]

Caiu na prova de matemática a seguinte questão:

Em um grupo de 75 jovens, 16 gostam de música, esporte e leitura; 24 gostam de música e esporte; 30 gostam de música e leitura; 22 gostam de esporte e leitura; 6 gostam somente de música; 9 gostam somente de esporte; e 5 gostam somente de leitura.

A ) Qual é a probabilidade de, ao apontar, ao acaso, um desses jovens, ele gostar de música.

B ) Qual é a probabilidade de, ao acaso, um desses jovens, ele não gostar de nenhuma dessas atividades?

Quebrei a cabeça e não sei resolver, gostaria de uma ajudar.

Obrigado.

[jneto]

Boa tarde,

Resolvi, mas de forma bem complicada, espero que algum amigo do fórum tenha uma solução melhor:

Convenções:

[tex3]M \,\,\,\to conjunto\,\,dos\,\,que\,\,gostam\,\,de\,\,musica \\
E \,\,\,\to conjunto\,\,dos\,\,que\,\,gostam\,\,de\,\,esporte \\
L \,\,\,\to conjunto\,\,dos\,\,que\,\,gostam\,\,de\,\,leitura\\[/tex3]

Além disso, vou denotar por [tex3]|X|[/tex3] a cardinalidade (o número de elementos) do conjunto X. Antes disso, uma definição, dados A e B conjuntos:

[tex3]|A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B|[/tex3]

Da definição, para o caso de três conjuntos, um cálculo direto (usando a definição) mostra que:

[tex3]|A\cup B\cup C| = |A| + |B| + |C| - |A\cap B| - |A\cap C| - |B\cap C| + |A\cap B\cap C|[/tex3]

O enunciado afirma que:

[tex3]|M\cap E\cap L| = 16 \\
|M\cap E| = 24 \\
|M\cap L| = 30 \\
|E\cap L| = 22[/tex3]

O detalhe é a frase "gostam somente", a interpretação disso é a seguinte (uso [tex3]S_{X}[/tex3] para "gostam somente"):

[tex3]S_{M} = |M| - |M\cap E| - |M\cap L| + |M\cap E\cap L| = 6\\
S_{E} = |E| - |E\cap M| - |E\cap L| + |M\cap E\cap L| = 9 \\
S_{L} = |L| - |L\cap E| - |L\cap M| + |M\cap E\cap L| = 5 \\[/tex3]

Fazendo os cálculos, temos:

[tex3]\boxed{|M| = 44} \\
\boxed{|E| = 39} \\
\boxed{|L| = 41}[/tex3]

Disso, temos que:

[tex3]\boxed{|M\cup E\cup L| = 64} \\
\boxed{|(M\cup E\cup L)^{c}| = 75 - 64 = 11}[/tex3]

Finalmente, as probabilidades pedidas são as seguintes:

a)
[tex3]P_{M} = \frac{|M|}{75} \to \boxed{P_{M} = \frac{44}{75}}[/tex3]

b)
[tex3]P_{N} = \frac{|(M\cup E\cup L)^{c}|}{75} \to \boxed{P_{N} = \frac{11}{75}}[/tex3]


Fiquem com Deus

[denisonFacul]

Muito obrigado pela ajuda, os resultados bateram certinho com outro fórum que postei, só a resolução foi diferente. Mas me ajudou bastante.

Muito obrigado.