Ensino Superior ⇒ Indução matemática

[AndreMayer]

Olá, preciso de ajuda para solucionar 2 exercicios, eles precisam estar pronto para hoje denoite! Eles são para faculdade... disciplina de Matemática para Computação... o assunto eh indução/somatórios... e infelizmente eu não tenho idéia de como resolver isso. visto que a pouco saí do ensino médio.

são estes 2 exercicios:


*achar a fórmula fechada para a seguinte soma: 1³ + 3³ + · · · + (2n ? 1)^3




*Considere para i ? N, a seguinte identidade:
(i + 1)^5 ? i^5 = 5i^4 + 10i³ + 10i² + 5i + 1. Efetue o somatório de ambos lados para i variando de 1 até n.
Determinar uma fórmula para:
n
?i^4
i=1



Agradeço muito se alguem puder resolve-los para mim... ou então me explicar sei la... o tempo é curto infelizmente

[triplebig]

Posso ajudar no primeiro. Chamarei a soma desejada de [tex3]S[/tex3]
Sabemos que [tex3]1^3+2^3+3^3+\dots+(2n-1)^3=(1+2+3+\dots+2n-1)^2=\(\frac{2n(2n-1)}{2}\)^2[/tex3] ou seja,

[tex3]S=\(\frac{2n(2n-1)}{2}\)^2-(2^3+4^3+6^3+\cdots+(2n)^3)\\ \text{ }=[n(2n-1)]^2-8(1^3+2^3+3^3+\dots+n^3)\\ \text{ }=[n(2n-1)]^2-8\[\frac{(1+n)n}{2}\]^2\\ \text{ }=[n(2n-1)]^2-2[(1+n)n]^2[/tex3]

Acho que é isso, abraços.

[AndreMayer]

vlw ae triplebig