Pré-Vestibular ⇒ (UnB/PAS - 1997) Geometria Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

O Piloto de uma empresa de transporte aéreo, partindo de São Paulo, deverá entregar uma carga em Ribeirão Preto, depois de fazer uma escala na cidade do Rio de Janeiro e outra em Lavras.
O mapa de vôo é representado na figura abaixo.

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Assumindo como corretas as informações dadas no mapa de vôo e sabendo que à velocidade constante de [tex3]350\text{ km/h}[/tex3] o tempo de vôo entre as cidades do Rio de Janeiro e Araxá é de [tex3]90\text{ min}[/tex3], julgue os itens que se seguem.


(1) O ângulo [tex3]\alpha[/tex3] mede [tex3]30^\circ[/tex3].
(2) Se [tex3]h[/tex3] é a altura do triângulo formado pelas cidades de São Paulo, Rio de Janeiro e Lavras, em relação à base São Paulo - Rio, então a distância entre o Rio de Janeiro e Lavras é igual a [tex3]\frac{h}{sen60^\circ}[/tex3].
(3) A distância entre as cidades de São Paulo e Lavras é inferior a [tex3]300\text{ km}[/tex3].
(4) O percurso total que o piloto deverá fazer é superior a [tex3]1.083\text{ km}[/tex3].

Resposta

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E,C,E,E

[adrianotavares]

Olá, Aldrin.

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A primeira é só correr atrás de ângulos, lembrando que a soma dos ângulos internos de um triângulo deve ser igual à [tex3]180^\circ[/tex3] . Ela está errada, pois verifica-se que [tex3]\alpha=45^\circ[/tex3]

(1) ---> errado

Resolução feita pelo Triplebig.

Chamando a distância de Lavras à Rio de Janeiro de [tex3]d[/tex3], temos a seguinte relação:

[tex3]\sen 60^\circ=\frac{h}{d}\Longleftrightarrow d=\frac{h}{\sen 60^\circ}[/tex3]

(2) ---> certo

Resolução feita pelo Triplebig.

Cálculo da distância entre as cidades do Rio de Janeiro e Araxá :

[tex3]D = v\cdot t[/tex3]
[tex3]D = 350\cdot 1,5[/tex3]
[tex3]D= 525 km[/tex3]

[tex3]DE= EC=x[/tex3]

[tex3]CD =AC= DA = x\sqrt{2}[/tex3]

[tex3]BC = 525-x[/tex3]

aplicando a Lei dos senos no [tex3]\Delta ABC[/tex3] temos:

[tex3]\frac{x\sqrt{2}}{\sen 60} = \frac{525 -x}{\sen 45}= \frac{AB}{\sen 75}[/tex3]

[tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot ( 525-x) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot x\sqrt{2}[/tex3]

[tex3]525\sqrt{3} - x\sqrt{3}= 2x[/tex3]

[tex3]2x + x\sqrt{3}= 525\sqrt{3}[/tex3]

[tex3]x(2 +\sqrt{3}) = 525\sqrt{3}[/tex3]

[tex3]x= \frac{525\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} \Rightarrow x = 1050\sqrt{3} - 1575 \Rightarrow x \approx 243 km[/tex3]

[tex3]AC = x\sqrt{2}[/tex3]
[tex3]AC \approx = 343 km[/tex3]

[tex3]BC = 525-x[/tex3]

(3) ---> errado

[tex3]BC= 282 km[/tex3]

Cálculo de seno de 75º

[tex3]\sen (75) = \sen (45+30) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6} +\sqrt{2}}{4}[/tex3]

[tex3]\frac{x\sqrt{2}}{\sen 60}= \frac{AB}{\sen 75}[/tex3]

[tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}AB = \sen 75\cdot x\sqrt{2}[/tex3]

[tex3]AB\sqrt{3}= 2\sqrt{2}x\(\frac{\sqrt{6} +\sqrt{2}}{4}\)[/tex3]

[tex3]AB\sqrt{3}=\sqrt{2}x\(\frac{\sqrt{6} +\sqrt{2}}{2}\)[/tex3]

[tex3]AB\sqrt{3}=\frac{x\sqrt{12} + 2x}{2}[/tex3]

[tex3]AB\sqrt{3}= \frac{2\sqrt{3}x + 2x}{2}[/tex3]

[tex3]AB\sqrt{3}= \sqrt{3}x+ x[/tex3]

[tex3]AB = \frac{x(\sqrt{3} +1)}{\sqrt{3}}[/tex3]

[tex3]AB= \frac{3x +\sqrt{3}x}{3}[/tex3]

[tex3]AB \approx 383km[/tex3]

Cálculo do percurso total:

[tex3]P_t= AB +BC + CD[/tex3]

[tex3]P_t= 383+282+343[/tex3]

[tex3]P_t= 1008km[/tex3]

(4) ---> errado