Demonstrações ⇒ (Demonstração) Método de Viète -- Raízes de uma função polinomial do segundo grau

[CarlosBruno]

Considere uma função polinomial do segundo grau [tex3]f(x)=ax^2+bx+c[/tex3] onde [tex3]a,b \;e\; c \in \mathbb{C}[/tex3] e [tex3]a\neq 0[/tex3]

Desta forma para encontrar suas raízes devemos encontrar os possíveis valores de [tex3]x[/tex3] tais que [tex3]f(x)=0[/tex3]. Portanto podendo reduzir este problema para a resolução de uma equação do tipo [tex3]ax^2+bx+c=0[/tex3]

Realizando uma mudança de variável, colocando arbitrariamente [tex3]x=u+v[/tex3], conseguimos reescrever a equação para outra com variável [tex3]u[/tex3] ou [tex3]v[/tex3].

[tex3]a(u+v)^2+b(u+v)+c=0\Rightarrow au^2+2auv+av^2+bu+bv+c=0 \\ \therefore au^2+(2av+b)u+(av^2+bv+c)=0 \;(I)[/tex3]
Visando anular o termo [tex3](2av+b)u, \forall u[/tex3] tem-se que: [tex3]2av+b=0\Rightarrow v=-\frac{b}{2a}[/tex3]

Substituindo o valor de [tex3]v[/tex3] na equação [tex3](I)[/tex3], obtemos: [tex3]au^2+a\cdot\left(\frac{b^2}{4a^2}\right)+b\cdot\left(-\frac{b}{2a}\right)+c=au^2+\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{2a}+c=au^2-\frac{b^2+4ac}{4a}=0\\ \therefore u^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\Rightarrow |u|=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Rightarrow u=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/tex3]

Para finalizar encontramos o valor de [tex3]x[/tex3], [tex3]x=u+v=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \;\;\;CQD[/tex3]