Pré-Vestibular ⇒ Número de Divisores Positivos Tópico resolvido

[Lars]

Explicação detalhada por favor

Ao fatorarmos o número inteiro positivo [tex3]n[/tex3] obtemos a expressão [tex3]n=2^x \cdot 5^y,[/tex3] em que [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] são números inteiros positivos. Se [tex3]n[/tex3] admite exatamente [tex3]13[/tex3] divisores positivos e é menor do que o número [tex3]199,[/tex3] então a soma de [tex3]x+y[/tex3] é?

A) 5
B) 6
C) 7
D) 8

[MateusQqMDMOD]

Olá, Lars.

Acredito que o enunciado correto seja:

Ao fatorarmos o número inteiro positivo [tex3]n[/tex3] obtemos a expressão [tex3]n=2^x \cdot 5^y,[/tex3] em que [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] são números inteiros positivos. Se [tex3]n[/tex3] admite exatamente [tex3]{{\color{red}\textbf{12}}}[/tex3] divisores positivos e é menor do que o número [tex3]199,[/tex3] então a soma de [tex3]x+y[/tex3] é?

A) 5
B) 6
C) 7
D) 8

Irei resolver interpretando dessa maneira, ok?

A quantidade de divisores positivos é obtida multiplicando-se os expoentes dos fatores primos acrescentando uma unidade a cada um deles. Por exemplo, a fatoração do número [tex3]360[/tex3] é [tex3]2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1,[/tex3] logo, a quantidade de divisores positivos de [tex3]360[/tex3] é [tex3](3 +1)(2+1)(1+1) = 24.[/tex3]

Se [tex3]n = 2^x \cdot 5^y,[/tex3] então [tex3](x+1)(y+1) = 12.[/tex3] Como [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] são inteiros, vem

[tex3]\begin{aligned} &\begin{cases}
x+1 = \pm1 \\
y+1 = \pm 12
\end{cases} \,\,\, \text{ou} \,\,\, \begin{cases}
x+1 = \pm12 \\
y+1 = \pm 1
\end{cases} \\ ⠀\\
(x+1)(y+1) = 12 \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, & \,\,\, \begin{cases}
x+1 = \pm 2 \\
y+1 = \pm 6
\end{cases} \,\,\, \text{ou} \,\,\, \begin{cases}
x+1 = \pm 6 \\
y+1 = \pm 2
\end{cases} \\ ⠀\\
& \begin{cases}
x+1 = \pm 3 \\
y+1 = \pm 4
\end{cases} \,\,\, \text{ou} \,\,\, \begin{cases}
x+1 = \pm 4 \\
y+1 = \pm 3
\end{cases}

\end{aligned}[/tex3]

pois o produto entre os fatores [tex3](x+1)[/tex3] e [tex3](y+1)[/tex3] deve resultar em [tex3]12.[/tex3]

Resolvendo as equações acima, e sabendo que [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] são número inteiros positivos e que [tex3]n < 199,[/tex3] temos [tex3]x + 1 = 6 \, \Leftrightarrow \, x = 5[/tex3] e [tex3]y + 1 = 2 \, \Leftrightarrow \, y = 1[/tex3] e daí [tex3]x + y = 6.[/tex3]