IME / ITA ⇒ (Escola Naval - 1991) Polinômio Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

O valor de [tex3]m[/tex3] para o qual [tex3]1[/tex3] é raiz dupla do polinômio [tex3]P(x)=x^{10}-mx^5+m-1[/tex3] é:

(A) [tex3]1[/tex3].
(B) [tex3]2[/tex3].
(C) [tex3]3[/tex3].
(D) [tex3]4[/tex3].
(E) [tex3]5[/tex3].

[jgpret]

Boa Noite, ALDRIN...

E aí, cara? Td Bem com vc?

Olha o que eu proponho:

[tex3]x^5=t[/tex3]

Logo podemos escrever a equação assim:

[tex3]P(x)=t^2-mt+m-1[/tex3]

Se a raíz [tex3]1[/tex3] é dupla, então, posso concluir que essa equação no parâmetro [tex3]t[/tex3] possui as suas duas raízes iguais a [tex3]1[/tex3].
(Posso dizer isso acima tranquilamente por vários motivos. Um deles é que como [tex3]x^5=t[/tex3] e [tex3]x=1[/tex3], então [tex3]t=1[/tex3] também.)

Bom, então posso escrever a equação [tex3]P(x)[/tex3] da seguinte forma: [tex3]P(x)=(t-1)^2[/tex3]

Igualando os termos:

[tex3](t-1)^2 = t^2-mt+m-1[/tex3]
[tex3]t^2 - 2t + 1= t^2-mt+m-1[/tex3]

Assim, posso dizer que:

[tex3](-2)=(-m) \leftrightarrow m=2[/tex3]... Letra [tex3](B)[/tex3]