Pré-Vestibular ⇒ (UFAM 2019) Números Complexos Tópico resolvido

[Albe]

Sejam [tex3]\theta_1[/tex3] e [tex3]\theta_2[/tex3] os argumentos de dois números complexos [tex3]z_1[/tex3] e [tex3]z_2[/tex3] respectivamente, tais que [tex3]0 < \theta_1 < \pi/2,[/tex3] [tex3]0 < \theta_2 < \pi/2[/tex3] e [tex3]\theta_1[/tex3] é o dobro de [tex3]\theta_2.[/tex3] Se o produto de [tex3]z_1[/tex3] e [tex3]z_2[/tex3] é um imaginário puro, então o valor de [tex3]\theta_1,[/tex3] em radianos, é igual a:

a) [tex3]\pi/3[/tex3]
b) [tex3]\pi/4[/tex3]
c) [tex3]\pi/5[/tex3]
d) [tex3]\pi/6[/tex3]
e) [tex3]\pi/8[/tex3]

Resposta

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A

[mcarvalho]

Boa tarde.

Nós sabemos que a forma trigonométrica de um complexo genérico é [tex3]z=|z|(\cos \theta+i\sen \theta)[/tex3]

Sabemos que a multiplicação de dois complexos [tex3]z_1=|z_1|(\cos \theta_1+i\sen \theta_1)[/tex3] e [tex3]z_2=|z_2|(\cos \theta_2+i\sen \theta_2)[/tex3] é tal que [tex3]z_1\cdot z_2=|z_1\cdot z_2|(\cos (\theta_1+\theta_2)+i\sen (\theta_1+\theta_2))[/tex3]

Apesar de ser uma fórmula bastante conhecida, não é difícil deduzi-la através de conhecimentos elementares de trigonometria.

Pois bem: sabemos que [tex3]z_1z_2[/tex3] é um imaginário puro. Isto significa que sua parte real é nula. A parte real de [tex3]z_1z_2[/tex3] é [tex3]|z_1z_2|\cdot (\cos (\theta_1+\theta_2))[/tex3]. Se essa parte é nula, a opção que nos resta é [tex3]\cos (\theta_1+\theta_2)[/tex3] ser nulo.

Como [tex3]\theta_1=2\theta_2[/tex3], e [tex3]\cos (3\theta_2)=0[/tex3], decorre que [tex3]\theta_2=\frac{\pi}{6}[/tex3], e [tex3]\theta_1=\frac{\pi}{3}[/tex3]

[Albe]

Muito obrigado, Mcarvalho! Eu só não entendi porque decorre que [tex3]\theta2=\pi/6[/tex3] e [tex3]\theta1=\pi/3[/tex3]. Se puder explicar, agradeço.

[mcarvalho]

Devemos ter [tex3]\cos(\theta_1+\theta_2)=0[/tex3]

O enunciado nos dá duas informações: (i) [tex3]\theta_1=2\theta_2[/tex3] e (ii) [tex3]0<\theta_1,\theta_2<\frac{\pi}2[/tex3]

Então vamos substituir [tex3]\cos(\theta_1+\theta_2)=\cos(2\theta_2+\theta_2)=\cos (3\theta_2)=0[/tex3]

O cosseno é igual a zero nos ângulos [tex3]\frac{\pi}2,\frac{3\pi}2[/tex3]. Então, de duas uma:

(i) ou [tex3]3\theta_2=\frac{\pi}{2}\implies \theta_2=\frac{\pi}6[/tex3]
(ii) ou [tex3]3\theta_2=3\frac{\pi}2\implies \theta_2=\frac{\pi}{2}[/tex3] e, por consequência, [tex3]\theta_1=2\frac{\pi}{2}=\pi[/tex3], o que não convém, porque [tex3]\theta_1[/tex3] e [tex3]\theta_2[/tex3] são ângulos do primeiro quadrante.

Espero que tenha sido claro.

[Albe]

Muito boa a explicação. Finalmente entendi!!!!!!!