IME / ITA ⇒ (AFA-2015)Sistema Lineares Tópico resolvido

[ASPIRADEDEU]

Alex possui apenas moedas de 25 centavos, de 50 centavos e de 1 real, totalizando 36 moedas. Sabe-se que a soma do número de moedas de 25 centavos com o dobro do número de moedas de 50 centavos é igual à diferença entre 82 e 5 vezes o número de moedas de 1 real. Nessas condições é correto afirmar que
a) esse problema possui no máximo 78 soluções.
b) o número de moedas de 25 centavos nunca será igual ao número de moedas de 50 centavos.
c) o número de moedas de 50 centavos poderá ser igual à soma do número de moedas de 25 centavos com as de 1 real.
d) o número de moedas de 1 real pode ser 3

Resposta

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Gab:C justifiquem as alternativas

[Tassandro]

ASPIRADEDEU,
Sejam x, y, z o número de moedas de 25 cent, 50 cent e 1 real, respectivamente. Do enunciado,
[tex3]x+2y+5z=82\\
x+y+z=36[/tex3]
Não se esqueça que [tex3]x,y,z\in\mathbb N[/tex3]
Subtraindo as equações, vem que:
[tex3]z=\frac{46-y}{4}[/tex3]
Logo, 46 - y deve ser um múltiplo de 4, assim, os valores possíveis para y serão [tex3]\{2,6,...,42\}[/tex3] no total são 11 valores, ou seja, há no máximo 11 soluções. A é falso.
Para a letra b, basta fazer [tex3]x=y=a[/tex3]
Forma um sistema tranquilo:
[tex3]3a+5z=82\\
2a+z=36[/tex3]
Resolvendo, achamos que [tex3]a=14;z=8\implies \text{É solução, pois }a,z\in\mathbb N[/tex3]
Para a letra d:
Suponha que [tex3]z=1[/tex3]. Formamos outro sistema:
[tex3]x+2y=67\\
x+y=33[/tex3]
Resolvendo, vem [tex3]x=-1;y=34\implies\text{Não convém!}[/tex3]