IME / ITA ⇒ (Escola Naval 1999) Geometria Espacial Tópico resolvido

[Gu178]

A esfera [tex3]S_{1}[/tex3] está inscrita em um cilindro C, circular reto, cujo o volume vale [tex3]18m^3[/tex3]. A esfera [tex3]S_{2}[/tex3] está circunscrita a C. A diferença entre os volumes de [tex3]S_{2}[/tex3] e [tex3]S_{1}[/tex3] é em cm³.

A) [tex3]6(2\sqrt{2}-2)[/tex3]
B) [tex3]12(2\sqrt{2}-1)[/tex3]
C) [tex3]6(2\sqrt{2}-1)[/tex3]
D) [tex3]12(\sqrt{2}-1)[/tex3]
E) [tex3]12(2\sqrt{2}-2)[/tex3]

Eu só consegui achar o volume da esfera inscrita, que é 12.

Não tenho o gabarito.

[Tassandro]

Gu178,
Para o cilindro
[tex3]πr^2h=2πr^3=18\text{ m}^3[/tex3]
Volume da esfera inscrita:
[tex3]\frac{4πr^3}{3}=\frac{2}{3}\cdot18=12\text{ m}^3[/tex3]
Para a circunscrita:
[tex3](2R)^2=(2r)^2+(2r)^2=2\cdot(2r)^2\implies R=r\sqrt2[/tex3]
Volume:
[tex3]\frac{4πR^3}{3}=\frac{4π2\sqrt2r^3}{3}=\frac{4\sqrt2}{3}18=24\sqrt2\text{ cm}^3[/tex3]
Assim,
[tex3]S_2-S_1=12(2\sqrt2-1)[/tex3]