Ensino Médio ⇒ Trigonometria: Equação Trigonométrica

[paulo testoniMOD]

• [tex3]\text{sen} 7x + \cos 3x = \cos 5x - \text{sen} x[/tex3]

[Alexandre_SC]

partindo de que [tex3]\text{sen}(a+b) = \text{sen} a \cdot \cos b + \text{sen} b \cdot \cos a[/tex3] e [tex3]\cos(a+b) = \cos a \cos b + \text{sen} b \cdot \text{sen} a[/tex3]
provavelmente isso é o suficiente vamos tentar

[tex3]\text{sen} 7x + \cos 3x = \cos 5x - \text{sen} x[/tex3]

vou tentar desenvolver uma coisa de cada vez

[tex3]\text{sen}(7x) = ?\\
\text{sen} 2x = 2 \text{sen}x \cos x\\
\cos 2x = \cos^2x - \text{sen}^2 x\\
\cos 3x = (\cos^2 x - \text{sen}^2 x)\cos x - 4 (\text{sen}x \cos x)^2\\
\text{sen} 4x = 4(\text{sen}x \cos x) (\cos^2x - \text{sen}^2 x)\\
\text{sen} 3x = 4 \text{sen}^2 \cos^2 x \cdot (\cos^2x - \text{sen}^2 x)[/tex3]

[tex3]\text{sen} 7x = 4 \text{sen}^2 \cos^2 x \cdot (cos^2x - \text{sen}^2 x)\cdot ((cos^2x - \text{sen}^2 x)\cos x - 4 (\text{sen}x \cos x)^2)+\\4 \text{sen}^2 cos^2 x\cdot (cos^2x - \text{sen}^2 x) \cdot 4(\text{sen}x \cos x) (\cos^2x - \text{sen}^2 x)[/tex3]

[tex3]\cos 5x = ((cos^2x - \text{sen}^2 x)\cos x - 4 (\text{sen}x \cos x)^2)\cdot (\cos^2x - \text{sen}^2 x)-\\(4 \text{sen}^2x \cos^2 x \cdot (\cos^2x - \text{sen}^2 x))\cdot 2 \text{sen}x \cos x)[/tex3]

Thales, Professor Caju, Ajudem esse pobre coitado pois eu já não posso mais!

[Thales Gheós]

Olá vocês!!

isso é mesmo muito trabalhoso... acho que não vou por a "mão na massa" mas deixo uma sugestão:

[tex3]\text{sen}(7x)=\text{sen}(5x+2x)[/tex3]
[tex3]\cos(3x)=\cos(5x-2x)[/tex3]
[tex3]\cos(5x)=\cos(3x+2x)[/tex3]
[tex3]\text{sen}(x)=\text{sen}(3x-2x)[/tex3]

não sei se ajuda, mas é o que parece sugerido na questão.

[marco_sx]

Olá a todos!

[tex3]\text{sen}7x + \cos 3x = \cos 5x - \text{sen}x \Rightarrow \text{sen}7x + \text{sen}x = \cos 5x - \cos 3x[/tex3]

Transformando em produto temos:

[tex3]2.\text{sen} 4x . \cos 3x = -2 . \text{sen} 4x . \text{sen} x \Rightarrow \text{sen} 4x . (\cos 3x + \text{sen} x) = 0[/tex3]

[tex3]\text{sen} 4x. (\text{sen}(\frac{\pi}{2}-3x) + \text{sen} x) = 2.\text{sen} 4x . \text{sen}(\frac{\pi}{4} - x) . \cos (\frac{\pi}{4} - 2x) = 0[/tex3]

Portanto: [tex3]\text{sen} 4x=0[/tex3] ou [tex3]\text{sen} (\frac{\pi}{4}-x)=0[/tex3] ou [tex3]\cos(\frac{\pi}{4}-2x) = 0[/tex3]

Acho que agora fica tranqüilo terminar. Vou deixar assim.

[Thales Gheós]

Caro marco_sx,

[tex3]\text{sen}7x + \text{sen}x = \cos 5x - \cos 3x[/tex3]

Transformando em produto temos:

[tex3]2.\text{sen} 4x . \cos 3x = -2 . \text{sen} 4x . \text{sen} x[/tex3]

sinceramente não conheço as transformações indicadas. Poderia explicá-las?

[tex3]\text{sen}7x +\text{sen}x =2 . \text{sen}4x . \cos3x[/tex3]
[tex3]\cos 5x - \cos 3x = -2 . \text{sen}4x . \text{sen}x[/tex3]

[marco_sx]

OK Thales. Vou demonstrar uma transformação e indicar as outras.

[tex3]\text{sen}(a+b)=\text{sen}a . \cos b + \text{sen} b . \cos a[/tex3]
[tex3]\text{sen}(a-b)=\text{sen}a .\cos b - \text{sen} b . \cos a[/tex3]

Somando as duas equações, temos:

[tex3]\text{sen}(a+b)+\text{sen}(a-b)=2.\text{sen}a.\text{sen}b[/tex3]

Fazendo [tex3]a+b=x[/tex3] e [tex3]a-b=y[/tex3], temos: [tex3]a=\frac{x+y}{2}[/tex3] e [tex3]b=\frac{x-y}{2}[/tex3]

Substiuindo: [tex3]\text{sen}x+\text{sen}y=2.\text{sen}(\frac{x+y}{2}).\cos(\frac{x-y}{2})[/tex3]

Outras transformações:

[tex3]\text{sen}x-\text{sen}y=2.\text{sen}(\frac{x-y}{2}).\cos(\frac{x+y}{2})[/tex3]

[tex3]\cos x+\cos y=2.\cos(\frac{x+y}{2}).\cos(\frac{x-y}{2})[/tex3]

[tex3]\cos x - \cos y = -2 . \text{sen}(\frac{x+y}{2}) . \text{sen}(\frac{x-y}{2})[/tex3]

[Thales Gheós]

Valeu Marco, obrigado.

abraço,

thales

[paulo testoniMOD]

Hola Thales Gheós.

O que o Marcos fez foi aplicar as fórmulas da adição e subtração de arcos em produto que é bastante útil quando formos resolver essas equações.

[tex3]2\cdot \text{sen} 4x \cdot \cos 3x = - 2\cdot \text{sen} 4x \text{sen}x,[/tex3] porque não simplificar [tex3]2\cdot \text{sen} 4x[/tex3]?

[tex3]\cos 3x = - \text{sen} x,[/tex3] lembrando que: [tex3]\cos y = \text{sen} \(\frac{\pi}{2} - y\),[/tex3] temos:

[tex3]\text{sen} \(\frac{\pi}{2} - 3x\)= -\text{sen} x[/tex3] desolve por aqui ou

[tex3]\text{sen} \(\frac{\pi}{2} - 3x\) + \text{sen}x = 0,[/tex3] aplicando novamente a fórmula da soma do seno

[marco_sx]

Paulo, não podemos cortar o [tex3]\text{sen}(4x)[/tex3] pois há a possibilidade deste ser igual a zero.