Ensino Superior ⇒ Limite Fundamental Exponencial e Regra de L'Hôpital Tópico resolvido

[Augustus]

Eu estava assistindo um vídeo que faz a demonstração de lim [tex3]\lim_{x \rightarrow \infty} (1+\frac{1}{x})^{x}= e [/tex3] usando o logaritmo natural e a regra de l'hôpital. No entanto, não entendi a seguinte parte do vídeo:

lognatural.png (100.62 KiB) Exibido 1326 vezes

[tex3]\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{ln (1+\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} [/tex3] não é igual a [tex3]\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}{\frac{-1}{x^{2}}}[/tex3]? Por que aparece que [tex3]\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{ln (1+\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{(\frac{1}{1+\frac{1}{x}})*(\frac{-1}{x^{2}})}{\frac{-1}{x^{2}}}[/tex3]?

Se ficou muito confuso, o vídeo é esse (aos 3:30): https://www.youtube.com/watch?v=nA6fz7DXHcA

[Cardoso1979]

Augustus, o professor usou a regra da cadeia, veja


[tex3]\left[ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\right]'=\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\right).\left(1+\frac{1}{x}\right)'[/tex3]

[tex3]\left[ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\right]'=\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\right).\left(0-\frac{1}{x^2}\right)[/tex3]

Logo

[tex3]\left[ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\right]'=\left(\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\right).\left(-\frac{1}{x^2}\right)[/tex3]


Obs.

[ ln ( x ) ]' = [tex3]\frac{1}{x}.(x)'=\frac{1}{x}.1=\frac{1}{x}[/tex3]


Bons estudos!