Olimpíadas ⇒ (POTI) - Conceitos Iniciais de Geometria Tópico resolvido

[goncalves3718]

A medida do segmento de reta [tex3]PC[/tex3] , perpendicular à hipotenusa [tex3]AC[/tex3] do triângulo retângulo [tex3]ABC[/tex3] , é igual à medida do comprimento [tex3]BC[/tex3] . Mostre que [tex3]BP[/tex3] deve ser perpendicular ou paralelo à bissetriz de Â.

[Tassandro]

goncalves3718,
1° caso:
BP é perpendicular

20200516_104742.jpg (37.77 KiB) Exibido 1165 vezes

O triângulo BPC é isóceles.
Seja [tex3]2α=\hat A[/tex3]
Temos que os ângulos PBC e BPC são iguais a α, pois o ângulo oposto à base do triângulo isóceles vale 180°-2α, aí basta ver que se forma um triângulo que possui um ângulo igual a (90°-α), outro igual a α, e o terceiro ângulo é o ângulo formado entre BP e a bissetriz de A. Como a soma dos ângulos de um triangulo dá 180°, o terceiro ângulo só pode ser 90°.
2° caso
BP é paralelo

20200516_104704.jpg (122.53 KiB) Exibido 1165 vezes

Basta provar que BXYP é um trapézio isóceles.
Assim, eu chamei os ângulos PBC e BPC de θ, pois o triângulo BCP é isóceles, logo, o ângulo BCA vale 2θ-90°, assim, temos no triângulo ABC:
2α+2θ-90°+90°=180°[tex3]\implies[/tex3] α+θ=90°
Finalmente, como pelo teorema do ângulo externo, PXY=BXY=90°+α, e como α+θ+90°=180°,
BXYP é um trapézio isóceles e portanto BP é paralelo à bissetriz de [tex3]\hat A[/tex3].