Pré-Vestibular ⇒ (UEM 2016 Verão) Funções Tópico resolvido

[encucado]

Seja [tex3]m[/tex3] um número real. Em relação à função dada por [tex3]f(x) = mx^2 + 4mx + (m+1)[/tex3], é correto afirmar que:

A função é positiva para todo x real, sempre que [tex3]0 \leq m \leq \frac{1}{3}[/tex3] ?

Consegui resolver meio que dando uma carteada, mas queria saber como fazer certinho.

Resposta

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Gabarito: Verdadeiro

[Tassandro]

encucado,
Condições necessárias:
[tex3]m>0;Δ<0\implies\\
16m^2-4m(m+1)=12m^2-4m<0\implies 3m^2-m<0\implies0< m <\frac13[/tex3]
Se m = 0,a função é afim pode assumir valores negativos, se m =1/3, o Δ é zero e a expressão se torna [tex3]f(x)=\frac13(x-2)^2[/tex3] o que pode ser nulo.
Eu diria que está errado pelos sinais de igual.

[encucado]

Sua resposta tá correta, muito obrigado, não tava enxergando que [tex3]\boxed{3m^2 - m < 0 } = \boxed{0 < m < \frac{1}{3}}[/tex3]