IME / ITA ⇒ (Escola Naval - 1973) Inequação Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

A condição necessária e suficiente para que
[tex3]|x^2-1| < x+|x|[/tex3] é que:

(A) [tex3]x \geq 1[/tex3].
(B) [tex3]\sqrt{2}-1 < x < \sqrt{2}+1[/tex3].
(C) [tex3]1 \leq x <\sqrt{2}+1[/tex3].
(D) [tex3]x > \sqrt{2}-1[/tex3]
(E) [tex3]NRA[/tex3].

Resposta

---

B

[Thales Gheós]

Pelo menos da maneira que eu encarei, esta é muito difícil!

[tex3]|x^2-1|\lt{}x+|x|[/tex3]

[tex3]|x^2-1|-x-|x|\lt0[/tex3]

podemos ver que para [tex3]x\lt0\rightarrow\,-x+|x|=0[/tex3] sempre e portanto [tex3]|x^2-1|-x-|x|\gt0[/tex3] sempre. Logo teremos de ter [tex3]x\gt0 (x=0[/tex3] não satisfaz)

se [tex3]x^2-1\geq0\rightarrow\,x^2-1-2x\lt0[/tex3]

se [tex3]x^2-1\lt0\rightarrow\,1-x^2\gt0\rightarrow\,1-x^2-2x\lt0[/tex3]

temos assim duas equações que devem ser satisfeitas simultâneamente:

[tex3]\begin{cases}x^2-1-2x\lt0\\1-x^2-2x\lt0\end{cases}[/tex3]

resolvendo as raízes de ambas e montando o estudo de sinais temos:

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e lembrando novamente que deve ser [tex3]x\gt0[/tex3] a união dos conjuntos-soluções que satisfaz é [tex3]\sqrt{2}-1\lt{}x\lt\sqrt{2}+1[/tex3]