Ensino Médio ⇒ Introdução aos quadriláteros Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID: 23699)]

AB e CD são as bases de um trapézio e I é o ponto de interseção das diagonais. Provar que a área do triângulo AID é igual à área de BIC e que a área AID é a média geométrica das áreas de AIB e CID.

OBS: Já fiz boa parte da resolução por Geometria Analítica e tenho convicção de que realmente chegarei no gabarito. Todavia, essa questão está em meu livro de GEOMETRIA PLANA e, portanto, gostaria de saber a resolução da questão por GEOMETRIA PLANA.

[Tassandro]

Zhadnyy,
Sejam
[tex3]A=[AID];B=[AIB],C=[BIC],D=[CID][/tex3]
Note que os triângulos ABD e ABC possuem mesma área (mesma base e mesma altura).
Assim, podemos fazer:
[tex3]A+B=B+C\implies A=C[/tex3]
Agora, note que os triângulos CID e AIB são semelhantes, seja k a razão de semelhança. Podemos fazer:
[tex3]\frac{D}{B}=k^2[/tex3]
Como a ângulo [tex3]AID=BIC,[/tex3] podemos fazer que:
[tex3]A=\frac{IA\cdot ID\senα}{2}\\
B=\frac{IA\cdot IB\sen(π-α)}{2}\implies \frac{A}{B}=\frac{ID}{IB}=k\implies A=Bk=\sqrt{BD}[/tex3]