Física I ⇒ (PUCCAMP) Resultante Centrípeta Tópico resolvido

[daniloesteves1]

O raio de uma curva ferroviaria é de [tex3]\mathrm{400 \, m}[/tex3] e um trem deve percorrê-la com a velocidade [tex3]\mathrm{v = 72 \, km/h.}[/tex3] De quanto deve estar elevado o trilho externo para reduzir a um mínimo a força para fora sobre ele ? A distância entre os trilhos é de [tex3]\mathrm{1,2 \, m.}[/tex3]

Adote [tex3]\mathrm{g = 10 \, m/s^{2}}[/tex3]

Resposta

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[tex3]\mathrm{0,12 \, m}[/tex3]

[Thales Gheós]

Quando um móvel faz uma curva no plano, sem sobrelevação, deve haver uma força de atrito que atua como a centrípeta necessária e suficiente para manter a trajetória circular. A inclinação da curva deve atuar com a mesma intensidade:

[tex3]\mu.Pcos\theta=F{cp}\\\mu=tan\theta\\\cancel{m}g\cdot\frac{sen\theta}{\cancel{cos\theta}}\cdot{}\cancel{cos\theta}=\frac{\cancel{m}v^2}{r}[/tex3]

[tex3]sen\theta=\frac{v^2}{gr}\\sen\theta=\frac{20^2}{10.400}\\sen\theta=\frac{1}{10}[/tex3]

[tex3]sen\theta=\frac{h}{1,2}\\h=0,1.1,2\\h=0,12m[/tex3]

[Liliana]

Como você sabe que a normal é igual a Pcosα e que o coeficiente de atrito é igual a tgα??

[anastacialina]

Gente, nem atrito foi mencionado na questão. Não seria muita "forçação de barra" respondê-la usando atrito? Por favor, não interpretem mal. Eu agradeço pela resposta, é porque eu não consegui encontrar um termo melhor. LOL. Tipo, soa meio estranho admitir que exista atrito se o ununciado não deixou isso claro. Bem, pode ser que seja realmente seja necessário usar atrio para resolvê-la, mas pode ser que não. Eu encontrei uma outra forma de atacar o problema. A resolução não é minha, encontrei aqui: questão 17. Mesmo assim eu não entendi o finalzinho dela. Vou trancrevê-lo pra cá.

Bem, o que me deixou confusa foi o fato de o exercício dizer que a distância entre os trilhos é 1,2 m. Bem, o que eu interpretaria com esse dado seria que a hipotenusa (imagem abaixo) fosse 1,2 m, e não o cateto horizontal; afinal o enunciado diz que a distância entre os trilhos é 1,2 m. Dessa forma, sendo "d" a hipotenusa de nada me adiantaria ter a tg α para calcular o catelo vertical — i.e elevação do trilho externo. Ao não ser que "α" fosse extremamente pequeno, para então assim eu assumir que a tg α = sen α. Mas ele não disse nada sobre essa validez. Bem, é aí que estou confusa.

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As forças que mantêm o trem na curva são: o peso [tex3]\vec{P}[/tex3], aplicada pela Terra, e a normal [tex3]\vec{N}[/tex3], aplicada pela estrada. A soma vetorial destas duas forças será a resultante que garante a aceleração centrípeta:

tg α = R/P → tg α = (m•v²/R)/m•g → tg α = (20²/400)/10 → tg α = 0,1

A elevação do trilho externo é dado por: tg α = d/1,2 → 0,1 = d/1,2 → d = 0,12 m

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Acabei de encontrar uma outra forma pra ter a tg(α), mas mesmo assim isso não me ajuda a chegar no valor do cateto vertical, eu queria mesmo era um sen(α).
[tex3]\mathrm{\boxed{\vec{F_r} = \vec{F_{cp}}} \\ F_{cp} = m \cdot \frac{v^2}{r} \\ F_{cp} = m \cdot \frac{20^2}{400} \\ \boxed{F_{cp} = m} \\ N \cdot cos(\alpha) = P = m \cdot g \rightarrow \boxed{N = \frac{m \cdot g}{cos(\alpha)}} \\ F_{cp} = N \cdot sen(\alpha) \\ F_{cp} = \frac{m \cdot g}{cos(\alpha)} \cdot sen(\alpha) \\ \frac{ \cancel{m} \cdot g}{cos(\alpha)} \cdot sen(\alpha) = \cancel{m} \\ \boxed{tg(\alpha) = 0,1}}[/tex3]

[Planck]

Olá, anastacialina.

Uma ideia é partir do que você quer, como uma operação inversa:

[tex3]\mathrm{
\sin \alpha = \frac{d}{hip}

}[/tex3]

Mas, como ele disse que a distância entre os trilhos é de [tex3]1,2 \text{ m}:[/tex3]

[tex3]\mathrm{
\sin \alpha = \frac{d}{1,2}

}[/tex3]

Contudo, note que:

[tex3]\mathrm{
\sin \alpha = \frac{\vec{R}_{cp}}{\vec N}
}[/tex3]

Igualando as duas expressões:

[tex3]\mathrm{
\frac{d}{1,2} = \frac{\vec R_{cp}}{\vec N}
}[/tex3]

Da figura, note que [tex3]\mathrm{\vec N = \sqrt{\vec P^2 + \vec R_{cp}^2}},[/tex3] então:

[tex3]\mathrm{
\frac{d}{1,2} = \frac{\vec R_{cp}}{ \sqrt{\vec P^2 + \vec R_{cp}^2}}
}[/tex3]

Vamos desenvolver o segundo lado:

[tex3]\mathrm{
\frac{\frac{mv^2}{R}}{\sqrt{(mg)^2 + \(\frac{mv^2}{R}\)^2}} \iff \frac{\frac{mv^2}{R}}{\sqrt{m^2 \cdot \(g^2 + \frac{v^4}{R^2}\)}}

}[/tex3]

A massa vai sair da raiz e simplificar com a massa do numerador. Com isso, obtemos que:

[tex3]\mathrm{
\frac{d}{1,2} = \frac{v^2}{R} \(g^2 + \frac{v^4}{R^2}\)^{-\frac{1}{2}}
}[/tex3]

Substituindo os demais valores numéricos e, com “algumas” aproximações e simplificações, obtemos que [tex3]\text d \approx 0,119404 \text{ m}.[/tex3] Uma aproximação para [tex3]\text d = 0,12 \text{ m}[/tex3] não seria grosseria.

[MateusQqMDMOD]

Gente, nem atrito foi mencionado na questão. Não seria muita "forçação de barra" respondê-la usando atrito? Por favor, não interpretem mal. Eu agradeço pela resposta, é porque eu não consegui encontrar um termo melhor.

Penso que o atrito seja responsável pela existência do movimento circular, de sorte que reduzir a força lateral que age sobre o trem quer dizer reduzir o atrito.

Bem, o que me deixou confusa foi o fato de o exercício dizer que a distância entre os trilhos é 1,2 m. Bem, o que eu interpretaria com esse dado seria que a hipotenusa (imagem abaixo) fosse 1,2 m, e não o cateto horizontal; afinal o enunciado diz que a distância entre os trilhos é 1,2 m.

Pelo que interpretei, a distância entre os trilhos é dada no plano do terreno, daí ser o cateto adjacente. Note que com a elevação dos trilhos essa distância aumenta, pois a hipotenusa é maior que qualquer dos catetos.

Concordo com a resolução proposta por você.

[anastacialina]

*desculpe pelo tamanho, é uma espécie de "rant" com dúvida. LOL

@MateusQqMDMOD, obrigado. Bem, eu aprecio imensamente a sua resposta. Sério, você tem me ajudado muito. Eu a li, enterpretei e entendi o que você quiz dizer — pelo menos eu acho que entendi o que você quis dizer. Admitir que a distância entre os trilhos é o cateto adjacente a α seria um pouco estranho, pois pense comigo: se eu te perguntar qual seria a distância entre o corpo A e B desta imagem, você me diria o que?

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Isso?

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Bem, eu genuinamente acredito que sim. Ou você diria que a distância entre eles é isso?

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Até que faz sentido dizer d', mas creio apenas se a pergunta fosse: "Qual e a distância da projeção horizontal das 'sobras' entre o corpo A e B?" (eu não sei se o termo correto seria 'sombra', mas acho que deu pra entender)
Nesse sentido eu diria d'. Mas caso contrário voltaria a dizer que a distância entre um corpo A e B é o menor segmento de reta que os une.
Bem, eu posso estar errada — e provavelmente estou, lol. Por favor, não inteprete mal.

Olha, o meu problema é aceitar que a distância entre os trilho do trem é medida como a terceira imagem. Isso soa para mim, no mínimo, contraintuitivo.

A resposta do @Planck, admite que o distância entre os trilho fosse realmente medida como a segunda imagem.

Bem, o final do meu primeiro texto eu digo que encontrei a tg(α), que vale 0,1. Eu interpretei que a distância entre os trilhos do trem fosse 1,2 m. Mas assim eu não conseguiria encontrar quanto vale a distância do trilho externo até o nível do solo — a vertical. Pois eu caria nisso daqui:

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[tex3]\mathrm{tg(α) = 0,1 → tg(α) = \frac{d}{y} → 0,1 = \frac{d}{y}}[/tex3]
Bem, essa última equação minha tem infinitas respostas. Quero dizer, pouco me ajuda a ter a tg(α) nesse caso. Claro, se a distância entre os trilhos fosse o cateto adjacente a "α", meu dia estaria salvo:
[tex3]\mathrm{tg(α) = 0,1 \\ y = 1,2 \\ tg(α) = \frac{d}{y} → 0,1 = \frac{d}{1,2} \\ d = 0,12}[/tex3]

Minha dificuldade está em aceitar que a distância entre os trilhos de trem seja o cateto adjacente, se for eu concordaria com a resposta 0,12 m. Mas acredito que de fato a distância seja a hipotenusa, assim como no pensamento do Planck.

Outra coisa, eu fui atrás da arc tg(0,1) e enconcrei α = 5,7105931375º. A partir daí e pensei, vou "forçar a barra" um pouquinho: já que α = 5,7105931375º é pequeno, o sen(α) deve ser parecido com a tg(α), foi o que medi: sen(α) = 0,09950371902099892202937970274806‬. Então percebi que minha "forçação de barra" estava certa. De fato, o sen(α) ≈ tg(α). Veja: tg(α) = 0,1 e sen(α) = 0,0995 → 0,1 ≈ 0,0995. Bem, agora eu tenho o sen(α), que vou considerar sendo igual a tg(α), pois α é pequeno. Aí sim, eu coseguiria encontrar "d" como 0,12 m:

[tex3]\mathrm { sen(α) = \frac {d} {1,2} → d = sen(α) \cdot 1,2 → sen(α) ≈ tg(α) → d = tg(α) \cdot 1,2 → d = 0,1 \cdot 1,2 → d = 0,12 \, m } [/tex3]

Bem, se eu não aplicasse o método do Plack eu não chegaria a conclusão de que o α era suficientemente pequeno para eu poder considerar que o sen(α) fosse igual a tg(α). Isso me intriga um pouco, pois, daria para eu chegar a resposta de 0,119404 m usando o método de resolução do Plack — claro, agora que eu sei ele. Mas já vi um questão parecida que explicitava que α era suficientemente pequeno a ponto de podermos considerar que o sen(α) = tg(α). Bem o exercício não nos disse isso. Por isso eu fiquei com medo de considerar tal coisa. Além do mais o exercíco não pediu aproximadamente, creio que foi isso que me fez achar estranho a aproximação do Planck. Ora, se o resultado não é exato — tudo bem que muito próximo —, o exercíco deveria deixar isso claro. Talvez com a seguinta redação: "sendo o valor de "d" mais aproximado de".

That's all folks. ♥♥♥

[anastacialina]

@Planck, obrigada. Agora ficou claro. Mas acho que a questão deveria ter dito "aproximado".

[Planck]

@Planck, obrigada. Agora ficou claro. Mas acho que a questão deveria ter dito "aproximado".

De nada! De fato, também fui atrás do valor do ângulo e é realmente pequeno. Desse modo, as aproximações, que você fez e eu também acabei fazendo, são válidas.

Achei interessante esse artigo: https://www.google.com.br/amp/s/blog.es ... bular/amp/.

[MateusQqMDMOD]

Não tem problemas, anastacialina.

você me diria o que?

Concordo com você nessa parte. Realmente a distância entre A e B é dada por d.

Vou tentar explicar melhor a interpretação que tive do enunciado.

Pelo que entendi, já existe uma trajetória plana que o trem irá percorrê-la de tal modo que a distância entre os trilhos é de [tex3]\mathrm{1,2 \, m.}[/tex3] Mas queremos descobrir uma elevação no trilho externo que cause uma força lateral mínima que age sobre o trem. Como essa elevação não é dada (queremos descobrir), a distância entre os trilhos será variável e dependente do valor que encontrarmos para essa elevação.

Na prática, acredito que essa elevação não pode muito grande porque aconteceria da distância entre os trilhos aumentar muito e daí o trem não conseguiria "encaixar" na plataforma e não aconteceria movimento a partir dessa sobrelevação, entende? Por isso, independente da interpretação, o ângulo precisa ser pequeno o suficiente pra que o cateto adjacente e a hipotenusa sejam próximos, e daí surge essa aproximação mostrada aqui no tópico.

Particularmente, procuraria não me prender muito a isso.. a parte física e seu entendimento é o mais significativo do problema.