IME / ITA ⇒ (Rumo ao ITA) Análise Combinatória Tópico resolvido

[emanuel9393MOD]

Escrevem-se números de cinco dígitos (inclusive os começados por zero) em cartões. Como [tex3]0,1[/tex3] e [tex3]8[/tex3] não se alteram de cabeça para baixo assim como o [tex3]6[/tex3] se transforma em [tex3]9[/tex3] (ou vice-versa), um só cartão pode representar dois números (por exemplo, [tex3]06198[/tex3] e [tex3]86190[/tex3]). Qual é o número mínimo de cartões para representar todos os números de cinco dígitos?

[Tassandro]

emanuel9393,
O total de números possíveis é [tex3]10^5.[/tex3] Vamos subtrair desse valor o número de cartões repetidos.
Vamos dividir em casos:
I. Os que virados de cabeça para baixo representam o mesmo número (por exemplo, 86190);
II. Os que virados de cabeça para baixo representam números diferentes ( por exemplo, 66989);
Os cartões do segundo caso sempre serão formados pelos algarismos [tex3]0,1,6,8,9[/tex3], assim há [tex3]5×5×5×5×5=3125[/tex3] cartões desse tipo. Mas desses 3125 cartões, alguns são do grupo I. Vamos calcular a sua quantidade. Perceba que para um cartão ser do tipo I, as suas extremidades devem ser 0 e 0 ou 1 e 1 ou 6 e 9 ou 8 e 8 ou 9 e 6, e o algarismo do meio só pode ser 0, 1 ou 8, e as demais posições só podem ser ocupadas por um dos algarismos descritos anteriormente. Logo, há [tex3]5×5×3=75[/tex3] cartões do tipo I.
Logo, podemos concluir que há
[tex3]\frac{3125-75}{2}=1525[/tex3] cartões repetidos. Portanto, precisamos de no mínimo
[tex3]10000-1525=98475[/tex3]