Ensino Médio ⇒ As demais voltas no ciclo trigonométrico Tópico resolvido

[florestinha89]

Construa um triângulo equilátero inscrito no ciclo, com um dos vértices na imagem do número [tex3]\left(\frac{\pi }{2}\right)[/tex3] . A seguir, escreva a expressão geral de cada um dos arcos que possuem extremidades nos vértices do triângulo.

Gabarito:

Resposta

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a expressão geral dos arcos é [tex3]\pi /2[/tex3] + 2k [tex3]\pi[/tex3], k [tex3]\in [/tex3] Conjunto dos inteiros
7 [tex3]\pi/6 [/tex3] + 2k [tex3]\pi [/tex3], k [tex3]\in [/tex3] Conjunto dos inteiros
11 [tex3]\pi/6 [/tex3] + 2k [tex3]\pi [/tex3], k [tex3]\in [/tex3] Conjunto dos inteiros

Não faço ideia como determino os outros vértices do triângulo no ciclo trigonométrico.

[mcarvalho]

Boa tarde.

Por números complexos sai mais fácil (avise se preferir uma resolução por geometria plana/trigonometria):

O ciclo trigonométrico é a circunferência, no plano complexo, de raio unitário e centro na origem. Os três pontos do triângulo equilátero são, na verdade, os três afixos da raiz cúbica de um complexo genérico [tex3]z=\cis \theta[/tex3], de módulo 1 igual ao raio. Chame [tex3]z_1,z_2,z_3[/tex3] os três afixos: é garantido que [tex3]z_{k+1}=z_k\cdot \(\cis \frac{2\pi}3\)[/tex3] (por quê?)

Então ficou fácil. O primeiro afixo é [tex3]z_1=\cis \(\frac{\pi}2\)[/tex3]. O próximo afixo é [tex3]z_1\cdot \cis\(\frac{2\pi}3\)=\cis \(\frac{\pi}2+\frac{2\pi}3\)=\boxed{\frac{7\pi}6}[/tex3]

Tente prosseguir daí. Avise se algo não tiver ficado claro.

[snooplammer]

cicl.png (43.48 KiB) Exibido 1657 vezes

Os segmentos roxos são bissetrizes e tem a mesma medida. Tente demonstrar.

Depois disso é fácil verificar que os ângulos entre os segmentos roxos é 120°

[mcarvalho]

Os segmentos roxos são bissetrizes e tem a mesma medida. Tente demonstrar.

Depois disso é fácil verificar que os ângulos entre os segmentos roxos é 120°

Rapaz, jurava que a solução por geometria plana ia ser mais trabalhosa hahaha, eu não sei por quê, mas tava imaginando que ia precisar de umas semelhanças, Pitágoras.. viajei completamente. No fim acabou sendo bem mais prático que a saída por complexos.

[florestinha89]

snooplammer, agradeço imensamente. Cheguei bem perto disso aí mas acho que já estava atordoada com as horas de estudos.
mcarvalho, agradeço de coração também. Ainda não sei nada de números complexos mas voltarei a sua resolução quando chegar lá.