Pré-Vestibular ⇒ (UFAM 2018) Polinômios Tópico resolvido

[Albe]

Considere as afirmativas:

I. O número [tex3]\frac{-\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i[/tex3] é uma raiz quadrada de [tex3]− i.[/tex3]
II. As quatro raízes de [tex3](x^{2} + 1)(x^{2} − 2x + 2) = 0[/tex3] são [tex3]i, \, −i, \, 1 + i, \, 1 − i.[/tex3]
III. O número [tex3]\frac{1}{2} −\frac{\sqrt{3}}{2}i[/tex3] é uma raiz de [tex3]x^{3} − 1= 0.[/tex3]

Assinale a alternativa correta:

a) Somente a afirmativa I é verdadeira.
b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
d) Somente a afirmativa II é verdadeira.
e) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras

Resposta

---

B

[MateusQqMDMOD]

Olá, Albe.

I. Certo.

Se [tex3]\frac{-\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i[/tex3] é uma raiz quadrada de [tex3]− i,[/tex3] então

[tex3]\(\frac{-\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\)^2 = -i\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \[\frac{\sqrt{2}}{2} \( -1 + i \)\]^2 = -i \\⠀\\ \frac{2}{4}\(1 -2i +i^2\) = -i \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, -i = -i \,\, \text{(ok!).}[/tex3]

II. Certo.

As raízes de [tex3](x^{2} + 1)(x^{2} − 2x + 2) = 0[/tex3] são as raízes dos polinômios [tex3]g(x) = x^2 +1[/tex3] e [tex3]q(x) = x^{2} − 2x + 2.[/tex3] Note que

[tex3]\begin{cases}\begin{aligned}
x^2 +1 = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\, x = -i \,\, \text{ou} \,\, i\\
x^{2} − 2x + 2 = 0 \,\, \Leftrightarrow \,\, x = 1 -i \,\, \text{ou} \,\, 1+ i
\end{aligned}\end{cases}[/tex3]

III. Errado.

Note que [tex3]x^{3} − 1= 0[/tex3] pode ser fatorado em [tex3](x-1)(x^2 +x +1) = 0[/tex3] e daí

[tex3]\begin{cases}\begin{aligned}
x-1 = 0 \,\, \Leftrightarrow \,\, x = 1\\⠀\\
\text{ou}
\\⠀\\
x^2 +x +1 = 0 \,\, \Leftrightarrow \,\, x = -\frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{aligned}\end{cases}[/tex3]

Nota:

Basta desenvolver Bhaskara para analisar as raízes das equações do segundo grau em [tex3]x.[/tex3]

[mcarvalho]

Boa tarde.

Vou assumir que você está familiar com a manipulação de complexos em suas formas trigonométrica e algébrica (avise se não estiver). Não vou utilizar conceitos mais técnicos de raízes de números complexos (ligados àquela fórmula para determinar as n raízes de um complexo qualquer), mas uma abordagem que eu considero mais direta e intuitiva, e que nesse caso nós podemos usar. Não é o único caminho.

i) a forma trigonométrica de [tex3]-i[/tex3] é simplesmente [tex3]\cis \(\frac{3\pi}2\)[/tex3].

Se de fato [tex3]\cis \(\frac{3\pi}4\)[/tex3] (já o coloquei na forma trigonométrica) for raiz quadrada de [tex3]\cis \(\frac{3\pi}2\)[/tex3], é preciso que o primeiro elevado ao quadrado resulte no segundo.

Ou seja: [tex3]\(\cis \(\frac{3\pi}4\)\)^2=\cis \(\frac{3\pi}2\)[/tex3]

E isso é verdade, pela teoria de exponenciação de complexos^[1].

ii) é imediato que [tex3]\pm i[/tex3] são as duas raízes de [tex3]x^2+1[/tex3]. Então podemos escrevê-lo como [tex3]x^2+1=(x+i)(x-i)[/tex3]. Para [tex3]x^2-2x+2[/tex3], um Bhaskara elementar nos revela que são raízes [tex3]1\pm i[/tex3]. Então temos: [tex3]x^2-2x+2=(x-(1+i))(x-(1-i))[/tex3]

Então: [tex3](x^2+1)(x^2-2x+2)=(x+i)(x-i)(x-(1+i))(x-(1-i))[/tex3]

E o teorema da decomposição de polinômios ^[2] nos garante que essa afirmativa está correta.

iii) de acordo com o mesmo método que estávamos usando nas afirmativas anteriores, a forma trigonométrica de [tex3]\frac 12-\frac{\sqrt 3}2i[/tex3] é [tex3]\cis \(\frac{5\pi}3\)[/tex3]. Vem que isso é raiz de [tex3]x^3-1=0[/tex3] se [tex3]\cis \(\frac{5\pi}3\)^3-1=0[/tex3] e eu deixo para você determinar por que isso não é verdade.

---

Observações e notas:

[1] A teoria de exponenciação de complexos nos garante que, dado o genérico [tex3]z=|z|\cis\theta[/tex3], a potência de z é tal que [tex3]z^n=|z|^n \cis (n\theta)[/tex3]. Você já deve ter visto isso: não é difícil demonstrar, e inclusive recomendo que o faça.

[2] O teorema da decomposição de polinômios nos garante que, dado o genérico [tex3]p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0[/tex3], p(x) pode ser reescrito (decomposto) como [tex3]p(x)=a_n(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)[/tex3], em que [tex3]x_1,x_2...x_n[/tex3] são as n raízes, distintas ou não, de p(x).

Edit: vou manter essa outra resposta porque ela é ligeiramente diferente da outra - e, enfim, eu já tinha tido todo o trabalho de escrevê-la.

[Albe]

MateusQqMD e Mcarvalho, muito obrigado. Pude ver como a questão pode ser resolvida por diferentes espectros, principalmente como mostrado pelo Mcarvalho. Vcs são crânios, rsrs!

[Albe]

@mcarvalho, encontrei as raízes da seguinte expressão da afirmativa II:

20200630_170439.jpg (31.96 KiB) Exibido 1797 vezes

Desejo saber se fiz corretamente.
Desde já, agradeço!!

[mcarvalho]

@Albe, está sim.

[Albe]

@mcarvalho, valeu!!!!!!