Física II ⇒ (OBF 2011) Termodinâmica Tópico resolvido

[AugustoITA]

Um cilindro de paredes condutoras térmicas possui um embolo de massa m bem ajustado (mas sem atritos), cuja secção de área transversal é S. O cilindro contem água e vapor à temperatura T = 100°C, ou seja, estão na temperatura de condensação.

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Observa-se que o embolo cai vagarosamente à velocidade constante v porque alguma quantidade de calor flui através das paredes do cilindro, fazendo com que um pouco de vapor se condense continuamente. A densidade de vapor no interior do recipiente é p.

a) Calcule a taxa de condensação do vapor e a variação de massa de vapor por unidade de tempo, em termos dos parâmetros dados no problema.
b) A que taxa o calor flui para fora do cilindro? Dê o resultado em função do calor de condensação L da água e dos outros dados do problema.
c) Qual a taxa de variação da energia interna do vapor? O calor específico molar a volume constante da água é Cv e sua massa molar é M.
d) Qual a taxa de variação da energia interna da água líquida?

[Tassandro]

AugustoITA,
A massa [tex3]m_v[/tex3] do vapor no recipiente pode ser dada por [tex3]m_v=\rho V[/tex3], em que é o volume definido pela posição do pistão e o fundo do recipiente. Logo:
[tex3]\frac{Δm_v}{Δt}=\frac{ρΔV}{Δt}=-ρAv[/tex3]
O sinal é negativo pois o volume está diminuindo. Observe que estou desconsiderando o aumento de volume de água do fundo do recipiente. Isso é uma boa aproximação visto que o acrésimo de volume de água liquida para uma determinada massa de vapor que se condensa é cerca de [tex3]1000[/tex3] vezes menor que a diminuição do volume de vapor.
A taxa com que o calor sai é o produto de [tex3]L[/tex3] pela taxa de vapor que diminui:
[tex3]\dfrac{\Delta{Q}}{\Delta{t}}=L{\rho}Av[/tex3]
Para o item c, use que
[tex3]\dfrac{\Delta{U}}{\Delta{t}}=\dfrac{\Delta\left(\dfrac{m_v}{M}C_vT\right)}{\Delta{t}}[/tex3]
Como a temperatura é constante, a variação na energia interna surge da variação da massa de vapor:
[tex3]\dfrac{\Delta{U}}{\Delta{t}}=\dfrac{C_vT}{M}\dfrac{\Delta{m_v}}{\Delta{t}}=-\frac{C_vT}{M}ρAv[/tex3]
Para o item d, considere o sistema água líquida+vapor. Pela primeira lei da termodinâmica:
[tex3]\(\frac{ΔU}{Δt}\)_{sis}=\(\frac{ΔQ}{Δt}\)_{sis}-\(\frac{W}{Δt}\)_{sis}=\(\frac{ΔU}{Δt}\)_{água}+\(\frac{ΔU}{Δt}\)_{vapor}[/tex3]
O calor que sai do sistema é o negativo do valor calculado no item b. E o último termo é devido ao trabalho realizado pelo pistão no sistema. Esse termo é positivo pois o trabalho realizado pelo sistema é negativo. Como o pistão desce com velocidade constante, o mesmo está em equilíbrio, logo, a pressão exercida no pistão pelo vapor é:
[tex3]P=P_0+\frac{mg}{S}[/tex3],
Sendo [tex3]P_0[/tex3] a pressão atmosférica e [tex3]g[/tex3] a aceleração da gravidade.
A taxa de realização de trabalho do sistema é, então:
[tex3]\(\frac{W}{Δt}\)_{sis}=-P\frac{ΔV}{Δt}=-PAv[/tex3]
Assim,
[tex3]\(\frac{ΔU}{Δt}\)_{sis}=Sv\(\frac{C_vTρ}{M}+P_0+\frac{mg}S-Lρ\) [/tex3]