Ensino Médio ⇒ Concorrência e colinearidade

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Em um triângulo ABC, as cevianas AD, BE e CF concorrem em P. Mostre que

[tex3]\frac{S_{DEF}}{2S_{ABC}}=\frac{PD .PE.PF}{PA.PB.PC}[/tex3]

[Tassandro]

Zhadnyy,
Não cheguei na relação ainda, mas veja se você consegue terminar:
Podemos fazer que:
[tex3]\frac{S_{PBC}}{S_{ABC}}=\frac{PD}{AD}[/tex3], pois os triângulos possuem a mesma base a razão entre as suas alturas é igual a razão [tex3]\frac{PD}{AD}.[/tex3] Usando propriedades de proporção:
[tex3]\frac{S_{ABC}-S_{PBC}}{S_{ABC}}=\frac{\overbrace{AD-PD}^{PA}}{PD}=\frac{PA}{PD}[/tex3]
Analogamente...
[tex3]\frac{S_{ABC}-S_{PAB}}{S_{ABC}}=\frac{PC}{PF}\\
\frac{S_{ABC}-S_{PAC}}{S_{ABC}}=\frac{PB}{PE}[/tex3]
Somando tudo...
[tex3]\frac{3S_{ABC}-\overbrace{(S_{PAB}+S_{PAC}+S_{PBC})}^{S_{ABC}}}{S_{ABC}}=\frac{PA}{PD}+\frac{PB}{PE}+\frac{PC}{PF}\implies\\
2S_{ABC}=S_{ABC}\(\frac{PA}{PD}+\frac{PB}{PE}+\frac{PC}{PF}\)[/tex3]
Agora o negócio é provar que o lado esquerdo é igual a [tex3]S_{DEF}...[/tex3] vou mostrar algumas relações que eu cheguei já:
[tex3]\frac{S_{PDF}}{S_{PAC}}=\frac{PD×PF}{PA×PC}\\
\frac{S_{PDF}}{S_{PAB}}=\frac{PD×PE}{PA×PB}\\
\frac{S_{PEF}}{S_{PBC}}=\frac{PE×PF}{PB×PC}\\
S_{PDF}+S_{PED}+S_{PFE}=S_{DEF}[/tex3]
Agora é muita conta e paciência...

[jvmago]

Vou comprar essa briga aqui

[Tassandro]

lado esquerdo

Lado direito, foi mal...

[Tassandro]

Zhadnyy,
Para facilitar minha vida digitando, farei [tex3]BD=a_1,CD=a_2, b_1=CE, b_2=AE, AF=c_1,BF=c_2,\\
a=\frac{a_1}{a_2};b=\frac{b_1}{b_2},c=\frac{c_1}{c_2}[/tex3]
Por Ceva, [tex3]abc=1[/tex3].
Além disso, temos que
[tex3]\begin{aligned}
\frac{AP}{PD} &= \frac{S_{ABE}}{S_{DBE}}
= \frac{\frac{b_2}{b_1+b_2}S_{ABC} }{ \frac{a_1}{a_1+a_2}\frac{b_1}{b_1+b_2}S_{ABC} }
= \frac1b(1 + \frac1a )=c(1+a)\\
\end{aligned}
[/tex3]
Analogamente, [tex3]\frac{BP}{PE}=a(1+b)[/tex3] e [tex3]\frac{CP}{PF}=b(1+c)[/tex3]
Assim,
[tex3]\frac{PA}{PD}\cdot\frac{PB}{BE}\cdot\frac{PC}{PF}
=(1+a)(1+b)(1+c)\tag1
[/tex3]
Além disso,
[tex3]\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}} = \frac{b_2}{b_1+b_2}\frac{c_1}{c_1+c_2} =\frac c{(1+c)(1+b)} \\
\frac{S_{BDF}}{S_{ABC}}= \frac a{(1+a)(1+c)} ,\>\>\>\frac{S_{CDE}}{S_{ABC}}= \frac b{(1+b)(1+a)}
[/tex3] e
[tex3]\begin{aligned}
\frac{S\_{DEF}}{S\_{ABC}} &= \frac{S\_{ABC} - S\_{AEF} - S\_{BDF} - S\_{CDE}}{S\_{ABC}} \\
&= 1 - \frac{c}{(1+c)(1+b)} - \frac{a}{(1+a)(1+c)} - \frac{b}{(1+b)(1+a)} \\
&= \frac{abc+1}{(1+a)(1+b)(1+c)}
\end{aligned} \tag{2}[/tex3]
Como abc=1, de (1) e de (2) vem que
[tex3]\frac{S_{DEF}}{2S_{ABC}}=\frac{PD .PE.PF}{PA.PB.PC}\\
\blacksquare[/tex3]