Ensino Médio ⇒ (Rufino Vol.0) Demonstração de Polinômio 2

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Prove que se [tex3]a+b+c=0[/tex3] então: [tex3]\frac{a^5+b^5+c^5}{5}=\frac{a^3+b^3+c^3}{3}.\frac{a^2+b^2+c^2}{2}[/tex3]

[Tassandro]

Por somas de Newton:
Sejam a, b e c raízes da equação:
[tex3]x^3+Ax^2+Bx+C=0[/tex3]
Assim,
[tex3]-A=a+b+c=0\\
B=ab+bc+ac\\
-D=abc[/tex3]
Logo, nossa equação original pode ser escrita como
[tex3]x^3+(ab+bc+ac)x-abc[/tex3]
Para facilitar, chamaremos [tex3]ab+bc+ac=y_1[/tex3] e [tex3]abc=y_2[/tex3].
Assim, nosso polinômio se reduz a
[tex3]x^3+y_1x-y_2=0[/tex3]
Sabemos, por hipótese, que
[tex3]S_0+a^0+b^0+c^0=1+1+1=3\\
S_1=a+b+c=0\to\\
S_3+y_1\cdot S_1-y_2S_0=0\to S_3=3\cdot y_2=3abc[/tex3]
[tex3]S_2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)\to S_2=-2y_1\to\\
S_5+y_1S_3-y_2S_2=0\to\\
S_4+3y_1y_2+2y_1y_2=\to\\
S_5=-5y_1y_2\to\\
-\frac{5y_1y_2}{5}=\frac{3y_2}{3}\cdot\frac{-2y_2}{2}\\
\frac{a^5+b^5+c^5}{5}=\frac{a^3+b^3+c^3}{3}.\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\\
\blacksquare[/tex3]