IME / ITA ⇒ (IME) Equação Logaritmica Modular

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Determine todos os valores reais de [tex3]x[/tex3] que satisfazem a equação:

[tex3]|\log(12x³-19x²+8x)|=\log(12x³-19x²+8x)[/tex3],

onde [tex3]\log(y)[/tex3] e [tex3]|y|[/tex3] representam, respectivamente, o logaritmo na base 10 e o módulo de [tex3]y[/tex3].

[mcarvalho]

Boa noite.

A solução de [tex3]|a|=a[/tex3] é qualquer [tex3]a\ge 0[/tex3].

O esboço do gráfico no GeoGebra nos dá uma luz: aparentemente x tem que ser maior que um.

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[tex3]\log_{10}(12x^3-19x^2+8x)>0=\log_{10}1[/tex3]

Como a função logarítmica é crescente para base maior do que um, vem:

[tex3]12x^3-19x^2+8x>1\rightarrow 12x^3-19x^2+8x-1>0[/tex3]

Por inspeção, 1 é raiz. Aplicando Briot-Ruffini: chegamos em [tex3]p(x)=(x-1)(12x^2-7x+1)[/tex3]

E as raízes de [tex3]12x^2-7x+1[/tex3] são [tex3]\frac 13,\frac 14[/tex3].

[tex3]\(x-1\)\(x-\frac 13\)\(x-\frac 14\)>0[/tex3]

O estudo dos sinais chega na condição de que [tex3]\boxed{x>1\text{ ou }\frac 14< x<\frac 13}[/tex3]