Pré-Vestibular ⇒ Problema 6 (movido) II Maratona de Matemática Fuvest/Unicamp

[leomaxwell]

Problema 6 (Fuvest - 2018)

Para responder aos itens a) e b), considere a figura correspondente.
a) Num tetraedro OABC, os ângulos AÔB, BÔC e CÔA medem 90°. Sendo [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\beta[/tex3] as medidas dos ângulos ACO e BCO, respectivamente, expresse o cosseno do ângulo ACB em função de [tex3]\alpha [/tex3] e [tex3]\beta[/tex3].

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b) Um navio parte o ponto de latitude 0° e longitude 0° e navega até chegar em um ponto de latitude 45° sul e longitude 45° oeste, seguindo a trajetória que minimiza a distância percorrida. Admita que a Terra seja esférica de raio [tex3]\mathsf{R=6000}[/tex3] km. Qual foi a distância percorrida pelo navio?

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Resposta

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a)[tex3]\cos (\mathsf{ACB}) =\cos\alpha\cdot\ cos\beta [/tex3]
b) [tex3]2000\pi[/tex3] km

[Tassandro]

leomaxwell,
a) Considere as seguintes relações obtidas facilmente pelo Teorema de Pitágoras e pela definição de cosseno:
[tex3]AB^2=OA^2+OB^2\\
AC^2=OA^2+OC^2\\
BC^2=OB^2+OC^2\\
OC=AC\cosα\\
OC=BC\cosβ[/tex3]
Fazendo a Lei dos Cossenos no [tex3]\triangle ABC[/tex3]:
[tex3]AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot\cos A\hat CB\to\\
OA^2+OB^2=OA^2+OB^2+OB^2+OC^2-2\cdot\frac{OC\cdot OC\cdot\cos A\hat CB}{\cosα\cdot\cosβ}[/tex3]
Após algumas simplificações algébricas, vem que
[tex3]\displaystyle\boxed{\boxed{\cos A\hat CB=\cosα\cdot\cosβ}}\tag*{}[/tex3]
b) Considere a seguinte figura:

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Note que [tex3]A\hat OB=B\hat OC=45°,[/tex3] assim, [tex3]\triangle AOD\equiv\triangle BOD\equiv\triangle ADB\text{ (ângulos e lados iguais)}[/tex3].
Logo, [tex3]\triangle ABO[/tex3] é equilátero e [tex3]A\hat OB=60°[/tex3].
Por fim,
[tex3]\frac{\widehat{AB}}{60°}=\frac{2π\cdot6000}{360°}\therefore\boxed{\widehat{AB}=2000π\text{ km}}[/tex3]