Ensino Superior ⇒ Desafio: Cálculo de várias variáveis e Geometria Analítica

[Drako]

Desenvolvi esta série de problemas com base nas aulas de cálculo e minha pura curiosidade. O problema P3 é um desafio de g.a e pode ser resolvido sem domínio de derivadas de ordem superior. Ilustrações estão em anexo.

P1: Encontre os pontos de maior e menor altura (com relação ao eixo z) da interseção entre o paraboloide [tex3]z=x^{2}+y^{2}[/tex3] com o plano [tex3]x+y+z=1[/tex3].

Resposta

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Sejam [tex3]f1(x,y)=x+y=1-c[/tex3] e [tex3]f2(x,y)=x^{2}+y^{2}=c[/tex3], nos pontos procurados [tex3]\bigtriangledown f2=\alpha \bigtriangledown f1[/tex3], ou seja: há duas retas tangentes (curvas de nível do tipo f1) aos circulos (curvas de nível do tipo f2) que englobam a curva de interseção limitada (uma elipse) e nestes pontos [tex3]\bigtriangledown f2=\alpha \bigtriangledown f1[/tex3]. Então:
[tex3](2x,2y)=\alpha (1,1) \rightarrow x=y[/tex3], o domínio da interseção é encontrado igualando z=[tex3]x^{2}+y^{2}[/tex3] com [tex3]z=-x-y+1 \rightarrow D: (x+\frac{1}{2})^{2}+(y+\frac{1}{2})^{2}=\frac{3}{2}[/tex3], os pontos do domínio onde [tex3]x=y[/tex3] são [tex3](-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2})[/tex3] e [tex3](-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2})[/tex3]. Então o ponto de mínimo local procurado é [tex3](-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2},2-\sqrt{3})[/tex3] e o de máximo local é [tex3](-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2},2+\sqrt{3})[/tex3].

[edinaely84]

Drako, excelente resolução!