Ensino Superior ⇒ Desafio: Cálculo de várias variáveis e Geometria Analítica 3

[Drako]

P3: Resolva P1 usando somente geometria.

Resposta

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Perceba que, quanto mais distante um ponto em XY está da origem, mais sua imagem no paraboloide estará "alta"; o mesmo vale para pontos mais próximos da origem de [tex3]R^{3}[/tex3]. Então o problema se resume a encontrar os pontos do domínio da interseção mais próximos e mais distantes da origem. Este é o círculo [tex3](x+\frac{1}{2})^{2}+(y+\frac{1}{2})^{2}=\frac{3}{2}[/tex3], com origem em [tex3](-\frac{1}{2},-\frac{1}{2})[/tex3]. Note que o ponto do círculo de menor e maior distância a origem pertence a reta que passa pela origem de XY e pelo centro do círculo, isto se deve ao fato de todos os pontos do círculo estarem a mesma distância de seu centro e a reta que passa por esses dois pontos ser o caminho que minimiza a distância destes pontos a origem e o ponto de maior distância ser diretamente oposto ao ponto de menor distância, pertencendo a reta citada. É simples de ver que essa reta é [tex3]x=y[/tex3], resultado análogo ao encontrado em P1, e apartir daqui todo o processo é igual ao de P1.

[edinaely84]

Drako, ótima resolução!