Ensino Médio ⇒ Geometria Espacial: Prisma Hexagonal Regular

[marcos020685]

Calcular o volume de um prisma hexagonal regular com altura de 5cm e aresta da base de 2 cm.

Solução:

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[tex3]A_b=\Large\frac{3\cdot\ell^2\sqrt{3}}{2}\large\,=\,\Large\frac{3\cdot 2^2\sqrt{3}}{2}\large\,=\,6\sqrt{3}\text{cm}^2[/tex3]

[tex3]V=A_b\cdot h\,=\,6\sqrt{3}\cdot5\,=30\cdot\sqrt{3}\text{cm}^3[/tex3]

[goncalves3718]

Bem, a solução já foi apresentada por você, mas estarei detalhando-a:

O volume de um prisma é calculado da seguinte forma:

[tex3]V = A_{b} \cdot h[/tex3]

sendo [tex3]A_b[/tex3] a área da base e [tex3]h[/tex3] a altura.

Vamos primeiramente calcular a área do hexágono sabendo que sua base tem [tex3]2 \, cm[/tex3].
Como em um hexágono regular os ângulos internos são todos congruentes, podemos denotar um ponto no centro e traçar segmentos de modo a formar [tex3]6 [/tex3] triângulos equiláteros.

A área do triângulo é:

[tex3]A_{\Delta}= \dfrac{b \cdot h}{2}[/tex3]

Logo, a área do hexágono regular é:

[tex3]A_{Hexagóno} = 6 \cdot \dfrac{b\cdot h}{2} \implies \boxed{A_{Hexágono}= 3 \cdot b \cdot h}[/tex3]

A altura de um triângulo equilátero é [tex3]l \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}[/tex3] , sendo [tex3]l[/tex3] o lado do triângulo, que nesse caso é [tex3]2[/tex3] cm.
Dessa forma a área será:

[tex3]3 \cdot 2 \cdot \left( 2\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) \implies \boxed{A_{Hexágono}= 6\sqrt{3}}[/tex3]

Resposta

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A parte entre parênteses representa a altura.

Calculando o volume, já que a altura do prisma é [tex3]5[/tex3] cm:

[tex3]V= A_b \cdot h[/tex3]

[tex3]V= 6\sqrt{3} \cdot 5 \implies \boxed{\boxed{V=30 \sqrt{3} \, cm^3}} [/tex3]