Olimpíadas ⇒ (OIM - 2003) Geometria Plana: Triângulos

[edu_vrb]

(OIM - 2003) No quadrado [tex3]ABCD,[/tex3] sejam [tex3]P[/tex3] e [tex3]Q[/tex3] pontos pertencentes aos lados [tex3]BC[/tex3] e [tex3]CD[/tex3] respectivamente, distintos dos extremos, tais que [tex3]BP = CQ.[/tex3] Consideram-se pontos [tex3]X[/tex3] e [tex3]Y,\,X\,\neq\,Y,[/tex3] pertencentes aos segmentos [tex3]AP[/tex3] e [tex3]AQ[/tex3] respectivamente. Demonstre que, quaisquer que sejam [tex3]X[/tex3] e [tex3]Y,[/tex3] existe um triângulo cujos lados têm os comprimentos dos segmentos [tex3]BX,[/tex3] [tex3]XY[/tex3] e [tex3]DY.[/tex3]

[goncalves3718]

Sabendo que esse enunciado da Olimpíada IberoAmericana refere-se ao quadrado abaixo:

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(digo isso, pois já resolvi essa questão), podemos seguir os seguintes procedimentos:

Recorte o [tex3]ΔPQC[/tex3] e coloque-o em outra posição formando o [tex3]ΔPEQ[/tex3] de modo que [tex3]PE=QC[/tex3] assim como [tex3]QE=PC[/tex3].
Estamos construindo um triângulo congruente ao inicial.

Iberoamericana 2.png (16.75 KiB) Exibido 768 vezes

Imagine agora que os segmentos [tex3]AP, PQ[/tex3] e [tex3]AQ[/tex3] são marcas de dobraduras no papel. Como [tex3]BP = PE, QE = DQ[/tex3] e [tex3]AD = AB[/tex3] , podemos agora dobrar os triângulos ao longo desses segmentos e formar um tetraedro como indica a figura abaixo.

Iberoamericana3.png (28.76 KiB) Exibido 768 vezes

Como [tex3]X, Y[/tex3] e [tex3]E[/tex3] são três vértices em arestas distintas do tetraedro, eles formam um triângulo.
Logo está provado.

O uso de dobraduras na questão a meu ver torna-a mais fácil, por esse motivo acabei usando-a.