Ensino Superior ⇒ Integração por frações parciais Tópico resolvido

[beagle]

A integral:

[tex3]\int\frac{x^3}{x^2-9}dx[/tex3]

Olá galera, resolvi a questão e obtive

[tex3]\frac{9 ln|x+3|}{2}+\frac{9 ln|x-3|}{2}+c[/tex3]

Mas a resposta no gabarito é:

[tex3]\frac{x^2}{2}+\frac{9 ln|x+3|}{2}+\frac{9 ln|x-3|}{2}+c[/tex3]

Daonde veio esse [tex3]\frac{x^2}{2}[/tex3] ???

Obrigado!

[jneto]

Boa noite,

Precisa mesmo ser resolvida usando frações parciais ? É que não vejo nenhuma vantagem na técnica nesse caso. Vou resolver de forma direta para tirar a sua dúvida. Depois, se você quiser a solução via frações parciais, eu volto a postar ok ?

Seja a mudança de variáveis [tex3]u = x^{2} - 9[/tex3], da mesma temos

[tex3]x^{2} = u + 9 \\
\frac{du}{2} = xdx[/tex3]

Levando essas mudanças na integral, obtemos:

[tex3]\int \frac{x^{3}}{x^{2} - 9} dx = \int \frac{x^{2}.xdx}{x^{2} - 9} = \frac{1}{2}\int \frac{(u + 9)}{u}du = \\
= \frac{1}{2}\int du + \frac{9}{2}\int \frac{du}{u} = \frac{u}{2} + \frac{9}{2}\ell n(|u|) + \lambda[/tex3]

Voltando para a variável inicial:

[tex3]\int \frac{x^{3}}{x^{2} - 9} dx = \frac{x^{2}}{2} - \frac{9}{2} + \frac{\ell n(|x^{2} - 9|)}{2} + \lambda \\
\boxed{\int \frac{x^{3}}{x^{2} - 9} dx = \frac{x^{2}}{2} + \frac{9\ell n(|x - 3|)}{2} + \frac{9\ell n(|x + 3|)}{2} + c}[/tex3]

Onde [tex3]c[/tex3] e [tex3]\lambda[/tex3] são constantes de integração.


Fiquem com Deus

[Auto Excluído (ID: N/A)]

jneto eu poderia fazer, arrumando os ln:

[tex3]\frac{1}{2}(x^2+9log(x^2-9))[/tex3]

???