Olimpíadas ⇒ (China - 2003) Trigonometria Tópico resolvido

[theblackmamba]

Se [tex3]x \,\in\,\[-\frac{5\pi}{12},\,-\frac{\pi}{3}\][/tex3]. Calcule o valor mínimo da expressão:

[tex3]tg\(x + \frac{2\pi}{3}\) - tg\(x + \frac{\pi}{6}\) + cos\,\(x + \frac{\pi}{6}\)[/tex3]

[Tassandro]

theblackmamba,
Faça [tex3]z=-x-\fracπ6
[/tex3]
Daí, [tex3]z\in\bigg[\fracπ6;\fracπ4\bigg],2z\in\bigg[\fracπ3;\fracπ2\bigg][/tex3]
Assim, [tex3]\tg\(x+\frac{2π}3\)=-\cot\(x+\fracπ6\)=\cot z[/tex3]
Seja y a expressão dada. Assim,
[tex3]y=\cot z+\tan z+\cos z=\frac{2}{\sen 2z}+\cos z[/tex3]
Como [tex3]\frac{2}{\sen2z}[/tex3] e [tex3]\cos z[/tex3] são estritamente decrescentes, o valor máximo de y ocorre para [tex3]z=\fracπ6,[/tex3] logo,
[tex3]y_{máx}=\frac{2}{2\sen\fracπ3}+\cos\fracπ6=\frac{11\sqrt3}{6}\tag*{}[/tex3]

[FelipeMartinMOD]

confiando na resposta do tassandro, o valor mínimo ocorre para [tex3]z= \frac{\pi}4[/tex3]:

[tex3]y_{min} = 2 + \frac{\sqrt2}2 = \frac{4+\sqrt2}2 \approx 2.7 < y_{max} \approx 3.2[/tex3]