Olimpíadas ⇒ (OBM 2011) Polinômios Tópico resolvido

[theblackmamba]

Seja [tex3]P(x)[/tex3] um polinômio de coeficientes inteiros. Sabe-se que [tex3]P(x) = 2011[/tex3] tem pelo menos duas raízes inteiras distintas iguais a [tex3]1[/tex3] e [tex3]t[/tex3], e que [tex3]P(x) = 0[/tex3] tem pelo menos uma raiz inteira. Determine todos os possíveis valores de t.

Resposta

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Gabarito: [tex3]2011, –2009, 2013, –2011, 3, –1[/tex3]

[Tassandro]

theblackmamba,
Seja [tex3]Q(x) = P(x) – 2011[/tex3]. Então [tex3]Q(x) = 0[/tex3] tem coeficientes inteiros e duas de suas raízes são [tex3]1[/tex3] e [tex3]t[/tex3].
Logo [tex3]Q(x) = (x – 1)(x – t)R(x)[/tex3], sendo [tex3]R(x)[/tex3] um polinômio de coeficientes inteiros e, portanto,
[tex3]P(x) = (x – 1)(x – r)R(x) + 2011[/tex3].
Como [tex3]P(x) = 0 ⇔ (x – 1)(x – t)R(x) = –2011[/tex3] tem soluções inteiras, e [tex3]R(x)[/tex3] é inteiro para [tex3]x[/tex3]
inteiro, [tex3]x-1[/tex3] e [tex3]x-t[/tex3] são dois divisores distintos (não necessariamente positivos) de [tex3]2011[/tex3]. Sendo
[tex3]2011[/tex3] primo, cada um desses dois fatores pode ser [tex3]–2011, –1, 1[/tex3] ou [tex3]2011[/tex3], com a única restrição
sendo que eles não podem ser [tex3]–2011[/tex3] e [tex3]2011[/tex3] simultaneamente. Assim, [tex3](x – 1) – (x – t) = t– 1[/tex3]
pode ser igual a [tex3]2010, –2010, 2012, –2012, 2[/tex3] ou [tex3]–2[/tex3], ou seja, [tex3]t[/tex3] pode ser igual a [tex3]2011, –2009,
2013, –2011, 3[/tex3] ou [tex3]–1[/tex3].