Estônia - Geometria - Estude! Com Prof. Caju

Tassandro · 2011-12-24T17:47:20+00:00

[ref=#c98a00]theblackmamba[/ref], Sejam E e F as projeções do circuncentro (C) e do ortocentro (O) em overlineAB, respectivamente. Note que CE=Rcoshat C e…

Olimpíadas ⇒ Estônia - Geometria Tópico resolvido

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theblackmamba Offline: Mensagens: 3723; Registrado em: 23 Ago 2011, 15:43; Localização: São Paulo - SP; Agradeceu: 806 vezes; Agradeceram: 2294 vezes

Dez 2011 24 15:47

Estônia - Geometria

Mensagempor theblackmamba » 24 Dez 2011, 15:47

Mensagem por theblackmamba » 24 Dez 2011, 15:47

Mostre que o segmento que une o ortocentro e o baricentro de um triângulo acutângulo [tex3]ABC[/tex3] é paralelo ao lado [tex3]AB[/tex3] se, e somente se, [tex3]tg \angle A\,\cdot\,tg \angle B = 3[/tex3].

Editado pela última vez por theblackmamba em 24 Dez 2011, 15:47, em um total de 1 vez.

"A coisa mais incompreensível do universo é que ele é compreensível"
- Albert Einstein

theblackmamba

Tassandro Offline: Mensagens: 1905; Registrado em: 15 Fev 2020, 17:01; Localização: Teresina, PI.; Agradeceu: 129 vezes; Agradeceram: 151 vezes

Mai 2020 31 07:53

Re: Estônia - Geometria

Mensagempor Tassandro » 31 Mai 2020, 07:53

Mensagem por Tassandro » 31 Mai 2020, 07:53

theblackmamba,
Sejam E e F as projeções do circuncentro (C) e do ortocentro (O) em [tex3]\overline{AB},[/tex3] respectivamente. Note que [tex3]CE=R\cos\hat C[/tex3] e [tex3]OF=2R\cos\hat A\cos\hat B,[/tex3] sendo R o circunraio. Mas como [tex3]\overline{CO}\parallel\overline{AB}\to CE=OF,[/tex3] daí,
[tex3]R\cos\hat C=2R\cos\hat A\cos\hat B\to\\
-\cos(\hat A+\hat B)=2\cos\hat A\cos\hat B\to\\
\tg\hat A\tg\hat B=3\tag*{}[/tex3]

Dias de luta, dias de glória.

Tassandro

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Primeira Postagem

cicero444

Na figurn abaixo os 10 pentágonos são regulares. O círculo interno é tangente a exatamente um lado de cada pentágono e o circulo externo passa exatamente pelos vértices opostos a esses lados. Determine a ãrea do círculo maior sabendo que a área do...

Últ. msg

geobson

A resposta é 4 : segundo o escrito abaixo em inglês.
cicero4441geobson1: 1 Resp.; 954 Exibições; Últ. msg por geobson
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Primeira Postagem

splinter.br

Determine o valor da expressão:

[tex3]f\left(\frac{1}{2000}\right) + f\left(\frac{2}{2000}\right) +\ldots + f\left(\frac{1999}{2000}\right) + f\left(\frac{2000}{2000}\right) + f\left(\frac{2000}{1999}\right) +\ldots + f\left(\frac{2000}{1}\right)[/tex3]...

Últ. msg

marco_sx

Oi splinter.br

[tex3]f\left(\frac{a}{b}\right)+f\left(\frac{b}{a}\right)=\frac{\left(\large\frac{a}{b}\right)^2}{1+\left(\large\frac{a}{b}\right)^2}+\frac{\left(\large\frac{b}{a}\right)^2}{1+\left(\large\frac{b}{a}\right)^2}=\frac{a^2}{a^2+b^2}+\frac{b^2}{a^2+b^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}=1[/tex3]...
marco_sx1splinter.br1: 1 Resp.; 2178 Exibições; Últ. msg por marco_sx
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Primeira Postagem

Cássio

Sejam [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] inteiros positivos primos entre si, tais que [tex3]\dfrac{a+b}{a-b}[/tex3] também seja um inteiro postivo. Prove que pelo menos um dos números [tex3]ab+1[/tex3] e [tex3]4ab+1[/tex3] é um quadrado perfeito.

Últ. msg

lucas36

Veja que [tex3]a-b|a+b[/tex3] e como [tex3]a-b|a-b[/tex3], temos [tex3]a-b|(a+b)-(a-b)=2b[/tex3] e logo [tex3]2b=k(a-b)\Leftrightarrow b(k+2)=ak[/tex3] e como [tex3]a, b[/tex3] são primos entre si, segue que [tex3]a|k+2[/tex3] e [tex3]b|k[/tex3],...
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Primeira Postagem

theblackmamba

Seja [tex3]a[/tex3], [tex3]b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] números reais positivos tal que [tex3]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=a+b+c[/tex3]. Prove que:
[tex3]\frac{1}{(2a+b+c)^2}+\frac{1}{(2b+c+a)^2}+\frac{1}{(2c+a+b)^2} \leq \frac{3}{16}[/tex3]

Últ. msg

Vinisth

Olá theblackmamba,

**Nota :
[tex3](x-y)^2\geq 0[/tex3],
[tex3](x+y)^2\geq 4xy[/tex3]

Tomando agora :
[tex3](a+b+2c)^2=(a+c+b+c)^2 \geq 4(a+c)(b+c)[/tex3], então :
[tex3]\sum_{cic}\frac{16}{(a+b+2c)^2}\leq \sum_{cic}\frac{4}{(a+c)(b+c)} \leq \frac{8(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(a+c)}[/tex3]...
Vinisth3theblackmamba1Auto Excluído (ID:8010)2: 5 Resp.; 1470 Exibições; Últ. msg por Vinisth
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