Concursos Públicos ⇒ (PEB II - SP) Inequações Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

A área da região limitada pela interseção das inequações
[tex3]\{x^2+y^2 \leq 1\\y \geq 0[/tex3] é:

a) [tex3]\frac{\pi}{2}[/tex3].
b) [tex3]\frac{\pi}{6}[/tex3].
C) [tex3]\pi[/tex3].
d) [tex3]9\pi[/tex3].
e) [tex3]36\pi[/tex3].

Resposta

---

a

[Auto Excluído (ID: N/A)]

A área da região limitada pela interseção das inequações
[tex3]\{x^2+y^2 \leq 1\\y \geq 0[/tex3] é:

a) [tex3]\frac{\pi}{2}[/tex3].
b) [tex3]\frac{\pi}{6}[/tex3].
C) [tex3]\pi[/tex3].
d) [tex3]9\pi[/tex3].
e) [tex3]36\pi[/tex3].

Resposta

---

a

A primeira equção sabemos que é uma circunferência, y>=0 é a parte de cima da circunferencia so que da primeira equação temos que y^2<=1 logo y=1 e x fica x = 0. Então temos uma área que vai de x=0 até y=1, ou seja, de 0 a 90° logo é [tex3]\frac{\pi}{2}[/tex3]

[Thales Gheós]

Essa é fácil e imediata:

1- [tex3]x^2+y^2=1[/tex3] é uma circunferência de centro na origem e raio igual a [tex3]1[/tex3]. [tex3]x^2+y^2\leq1[/tex3] é a área (interna) da circunferência.

2- [tex3]y=0[/tex3] coincide com o eixo [tex3]x[/tex3]. [tex3]y\geq0[/tex3] é o semi-plano superior

3- logo a área é a de metade da circunferência. [tex3]A=\frac{\pi}{2}[/tex3] (lembrando que o raio é [tex3]1[/tex3])

trok_gif.GIF (1.76 KiB) Exibido 1654 vezes

[Auto Excluído (ID: N/A)]

Thales metade de uma circunferencia não é [tex3]\pi[/tex3] ? A resposta é [tex3]\frac{\pi}{2}[/tex3] pq y=1 e x=0

[Thales Gheós]

A área de uma circunferência é [tex3]\pi.r^2[/tex3], logo metade será [tex3]\frac{\pi^.r^2}{2}[/tex3] e já que [tex3]r=1[/tex3] ficamos com [tex3]\frac{\pi}{2}[/tex3]

[Auto Excluído (ID: N/A)]

Essa é fácil e imediata:

1- [tex3]x^2+y^2=1[/tex3] é uma circunferência de centro na origem e raio igual a [tex3]1[/tex3]. [tex3]x^2+y^2\leq1[/tex3] é a área (interna) da circunferência.

2- [tex3]y=0[/tex3] coincide com o eixo [tex3]x[/tex3]. [tex3]y\geq0[/tex3] é o semi-plano superior

3- logo a área é a de metade da circunferência. [tex3]A=\frac{\pi}{2}[/tex3] (lembrando que o raio é [tex3]1[/tex3])

trok_gif.GIF

É que aqui você afirmou que a área é a metade da circunferência, só que ela é 1/4 da circunferência

[cajuADMIN]

O Thales, no item 3 de sua resolução, estava se referindo a:

"logo a área é a metade da área do círculo"

[Auto Excluído (ID: N/A)]

Desculpa eu continuo sem entender, a área não é de x=0 até y=1 ?

[Thales Gheós]

Olhe de novo as coisas:

1- [tex3]y\gt0[/tex3] (a região em amarelo claro)

2- [tex3]x^2+y^2\lt1[/tex3](a região em tons de verde, interna à circunferência)

3- a intersecção de ambas é a região em verde mais escuro, que corresponde à área de meia circinferência.

a área de uma circunferência é [tex3]\pi.r^2[/tex3], metade é, portanto, [tex3]\frac{\pi.r^2}{2}[/tex3]

trok_gif.GIF (2.25 KiB) Exibido 1616 vezes

[Auto Excluído (ID: N/A)]

A sim, obrigado pela explicação